Toán thực tế giới hạn, hàm số liên tục Toán 11

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Câu 1: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian 24000 T = năm thì một nửa số chất

phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người ( T được gọi là chu kì

bán rã).

Gọi n u là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n .

a) Tìm số hạng tổng quát n u của dãy số ( ) n u .

b) Chứng minh rằng ( ) n u có giối hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 10 g − .

Lời giải

a) Ta có:

2

1 2 3 1 1 1; ; ; 2 2 u u u   = = = …    

Suy ra ( ) n u lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1 u = và 1 2 q = có số hạng tổng quát là:

1 1 2

n

n u

−   =    

.

b) Ta có:

1 1 lim lim 0 2

n

n u

−   = =    

.

c) Đổi

1 1 3 1 1 kg 10 g 2 2

n n

n u

− −     = = ⋅        

Để chất phóng xạ bé hơn ( ) 6 10 g − thì

1 3 6 1 10 10 n>31 2

n− − <   ⋅ ⇔    

.

Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.

Câu 2: Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với 3 100 m ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

Lời giải

CHƯƠNG

III

GIỚI HẠN

HÀM SỐ LIÊN TỤC

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

( ) 2 3 3 1 100 100 0,8 100 (0,8) 100 (0,8) 100 500 1 0,8 m + ⋅ + ⋅ + ⋅ +…= ⋅ = − .

Câu 3: Cho tam giác 1 2 OA A vuông cân tại 2 A có cạnh huyền 1 OA bằng a . Bên ngoài tam giác 1 2 OA A ,

vẽ tam giác 2 3 OA A vuông cân tại 3 A . Tiếp theo, bên ngoài tam giác 2 3 OA A , vẽ tam giác 3 4 OA A

vuông cân tại 4 A . Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông

cân (Hình 2).

Tính độ dài đường gấp khúc 1 2 3 4 A A A A 

Lời giải

Ta có các góc  1 2 2 3 3 4 , , , AOA A OA A OA … đều bằng 45° . Ta có:

1 2 2 1

2

2 3 3 2

2 3

3 4 4 3

2 cos45 2

2 2 2 cos45 ; 2 2 2

2 2 2 cos45 ; 2 2 2

A A OA OA a

A A OA OA a a

°

°

°

= = ⋅ =

  = = ⋅ = ⋅ =      

    = = ⋅ = ⋅ = …            

Vậy độ dài các đoạn thẳng 1 2 2 3 3 4 , , , A A A A A A … tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng

đầu bằng 2 2 a và công bội bằng 2 2 . Do đó, độ dài đường gấp khúc 1 2 3 4 A A A A … là

2 1 2 2 (2 2) (1 2). 2 2 2 2 2 1 2

a a a l a = ⋅ = = ⋅ + = + − −

Câu 4: Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 1. Nối các trung điểm 1 1 1 , , A B C của các cạnh

, , BC CA AB ta được tam giác đều 1 1 1 A B C . Tiếp tục nối các trung điểm 2 2 2 , , A B C của các cạnh

1 1 1 1 1 1 , , B C C A A B ta được tam giác đều 2 2 2 A B C , thực hiện quá trình này đến vô hạn. Gọi n S là diện

tích của tam giác đều n n n A B C .

a) Tính 8 S

b) Tính tổng diện tích các tam giác đều n n n A B C thu được

c) Tính tổng các độ dài 1 1 2 2 3 1 ... ... n n l AA A A A A A A − = + + + + +