Chuyên đề toán thực tế dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân Toán 11

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11  WEB: Toanthaycu.com

Trần Đình Cư: 0834332133 1

CHUYÊN ĐỀ 3. DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương *  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là ( ) u u n = .

Ta thường viết nu thay cho ( ) u n và kí hiệu dãy số ( ) u u n = bởi ( ) n u , do đó dãy số ( ) n u được viết dưới

dạng khai triển 1 2 , , , , n u u u … … Số 1u gọi là số hạng đầu, nu là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát

của dãy số.

2. Mỗi hàm số u xác định trên tập { } 1;2;3; ; M m = … với * m∈ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là 1 2 , , , m u u u … . Số 1u gọi là số hạng đầu, m u là số hạng cuối.

3. Một dãy số có thể cho bằng:

• Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); • Công thức của số hạng tổng quát; • Phương pháp mô tả; • Phương pháp truy hồi.

4. Dãy số ( ) n u được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1 n n u u + > với mọi * N n∈ .

Dãy số ( ) n u được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1 n n u u + < với mọi * n∈.

5. Dãy số ( ) n u được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho * . n u M n ≤ ∀∈

Dãy số ( ) n u được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho * . n u m n ≥ ∀ ∈

Dãy số ( ) n u được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số , m M sao

cho * . n m u M n ≤ ≤ ∀ ∈

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: a) Gọi n u là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho

dãy số ( ) n u .

b) Gọi nv là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là

một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số ( ) nv .

Câu 2: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi nP (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11  WEB: Toanthaycu.com

Trần Đình Cư: 0834332133 2

c) Dự đoán công thức của nP tính theo n .

Câu 3: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Câu 4: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau

n tháng được cho bởi công thức 0,06 100 1 . 12

n

n A   = +    

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

Câu 5: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi ( ) n A n∈ là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng.

a) Tìm lần lượt 0 1 2 3 4 5 6 , , , , , , A A A A A A A để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số ( ) n A .

Câu 6: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo hình thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hảng là 0,5% một tháng. Gọi nP (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n

tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) Dự đoán công thức của nP .

Câu 7: Với mỗi số nguyên dương n , lấy 6 n + điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi n u là số

đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số ( ) nu . Tìm công thức của

số hạng tổng quát n u .