Đề kiểm tra HSG Toán năm 2025 - 2026 trường THCS Hậu Thành - Nghệ An

UBND XÃ GIAI LẠC TRƯỜNG THCS HẬU THÀNH

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2025 - 2026

Câu 1. (3,0 điểm)

a) Anh Bình cần rút tiền trong thẻ ATM để chi tiêu cá nhân nhưng lại quên mật khẩu đăng nhập tài khoản. Biết rằng mật khẩu là một số chính phương A có bốn chữ số, nếu bớt đi mỗi chữ số của số A một đơn vị thì được số mới là số chính phương có bốn chữ số. Em hãy giúp anh Bình tìm lại mật khẩu đã quên.

b) Cho ba số nguyên x, y, z có tổng chia hết cho 6. Chứng minh rằng biểu thức

( )( )( ) M x y y z z x 2xyz = + + + − chia hết cho 6.

Câu 2. (3,0 điểm) a) Trong một bài thi trắc nghiệm môn Toán có 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 lựa chọn A; B; C; D. Nếu chọn đúng được 0,2 điểm. Bạn Bắc đã trả lời chắc chắn đúng 44 câu hỏi thì gần hết thời gian nên đành chọn ngẫu nhiên đáp án của 6 câu cuối. Tính xác suất để bạn Bắc đạt điểm tối đa b) Người ta đặt một vòi chảy vào từ trên xuống và một vòi tháo nước ra tại lưng chừng của một bể nước. Khi bể không chứa nước nếu mở cả 2 vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước, còn nếu đóng vòi chảy ra và chỉ mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút bể đầy nước. Biết trong cùng một thời gian vòi chảy vào chảy được lượng nước nhiều gấp hai lần lượng nước của vòi chảy ra. Hỏi khi bể không có nước nếu mở cả hai vòi thì sau thời gian bao lâu mực trong bể nước ngang đến chỗ lắp vòi chảy ra.

Câu 3. (6,0 điểm)

a) Giải phương trình: ( ) ( ) 4 2 2 2 2 4 1 4x 1 5x x x x x − + + − + =

b) Giải hệ phương trình: 3 2 2 14

6 12 7

xy x y

x x x y

  

+ + =

+ + − = −

Câu 4. (7,0 điểm) Cho ABC ∆ vuông cân tại B, gọi O là trung điểm của AC, trên cạnh AB lấy điểm M bất kỳ ( M khác A và B), vẽ  0 90 ( ) MON N BC = ∈

a) Chứng minh: MA = NB b) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, Qua B kẻ đường thẳng song song với MN, hai đường thẳng này cắt nhau tại E, ON cắt BE tại K Chứng minh rằng: KN là tia phân giác  BKC

c) Tia phân giác  EKC cắt CE tại H. Chứng minh: KC KN BE KB KH CK + =

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho đa giác đều gồm 2025 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.

---------------------------Hết---------------------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 (3,0 điểm):

a) Anh Bình cần rút tiền trong thẻ ATM để chi tiêu cá nhân nhưng lại quên mật khẩu đăng

nhập tài khoản. Biết rằng mật khẩu là một số chính phương A có bốn chữ số, nếu bớt đi mỗi chữ số của số A một đơn vị thì được số mới là số chính phương có bốn chữ số. Em hãy giúp anh Bình tìm lại mật khẩu đã quên b) Cho ba số nguyên x, y, z có tổng chia hết cho 6. Chứng minh rằng biểu thức

( )( )( ) M x y y z z x 2xyz = + + + − chia hết cho 6. Câu 1 (3,0 đ)

Gọi mật khẩu đăng nhập của anh Bình là ( * , , , abcd a b c d N ∈ và

, , , 9 a b c d ≤ và 2 a ≥ )

Theo đề bài ta có: 2 abcd x = và ( )( )( )( )

2 1 1 1 1 a b c d y − − − − =

Do đó: ( ) 2 2 * 1111 , ;32 , 99 x y x y N x y − = ∈ ≤ ≤

( )( ) 1.1111 11.101 x y x y ⇔ + − = =

Vì 32 , 99 x y ≤ ≤ nên 1111 x y + ≠ và 1 x y + ≠

Vậy nên không thể xảy ra trường hợp: 1111

1

x y

x y

+ =  − = 

hoặc 1

1111

x y

x y

+ =  − = 

Mặt khác: x y x y + > − (do ,x y là các số nguyên dương) nên chỉ xảy ra trường hợp:

11 56 101 45 x y x x y y

− = =  ⇔   + = =  

(nhận)

Vậy: mật khẩu đăng nhập của anh Bình là 2 56 3136 =

0,25

0.25

0.25

0.25

0,25

0,25

M = ( )( )( ) x y y z z x 2xyz + + + −

= ( )( ) 2 xy xz y yz z x 2xyz + + + + −

= ( ) ( ) y x y z zx z x 2xyz + + + + −    

= ( )( ) ( ) y x y z z x zx x y z 3xyz + + + + + + −

= ( )( ) x y z xy yz zx 3xyz + + + + −

Do x y z 6 + + ⇒ ( )( ) x y z xy yz zx 6 + + + +  (1)

Mặt khác: x y z 6 + +  nên trong 3 số x, y, z có ít nhất một số

chẵn. Vì nếu cả ba số đều lẻ thì x + y + z lẻ ⇒ x y z + + 6. Trái với giả thiết.

0.25

0.25

0.25

0.25