Đề thi thử HSG Toán 9 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THCS Mã Thành - Nghệ An

UBND XÃ BÌNH MINH TRƯỜNG THCS MÃ THÀNH

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 LẦN 1

NĂM HỌC 2025 - 2026

Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề ra Câu 1 ( 2,0 điểm).

a) Chứng minh rằng tổng bình phương hai số lẻ bất kì không phải là số chính phương.

b) Chứng minh rằng

4 1 23 2

n A

+ = + là hợp số với n là số nguyên dương.

Câu 2 ( 6,0 điểm).

a) Giải phương trình

2 2 2 2 ( 1) 3 ( 1) 2 0. x x x x + + + + =

b) Giải phương trình : 2(6x +7)2 (3x+ 4)(x + 1) – 12= 0

c) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 2 3 4 3 2 0

1.

x xy y x y

x y

 − + − + + =  + = 

Câu 3 ( 1,0 điểm). Cho đa thức ( )

3

2 f . 1 3 3 x x x x = − +

Tính giá trị của 1 2 2023 2024 f + f + ... + f + f . 2025 2025 2025 2025 A         =                

Câu 4 ( 3,0 điểm).

a) Ông A gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kỳ hạn 1 năm là 6%. Tuy nhiên sau thời hạn một năm ông A không đến nhận tiền lãi mà để thêm một năm nữa mới nhận. Khi đó số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm kế tiếp với mức lãi suất cũ. Sau 2 năm ông A nhận được số tiền là 112.360.000 đồng (kể cả gốc lẫn lãi). Hồi ban đầu ông A đã gửi bao nhiêu tiền? b) Trong túi đựng 48 viên bi cùng kích thước và khối lượng với hai màu đỏ và xanh. Lấy

ngẫu nhiên một viên bi từ túi. Biết rằng xác suất lấy được viên bi đỏ bằng 92% xác suất lấy

được viên bi màu xanh. Hỏi trong túi có bao nhiêu viên bi màu đỏ, bao nhiêu viên bi màu xanh?

Câu 5 ( 7,5 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại H , gọi O là trung điểm của . BC a) Chứng minh rằng

2 .cos BFEC AEF S S A = .

b) Chứng minh rằng  . FED FOD =

c) Chứng minh rằng 2 2 2 1. cot A cot B cot C + + ≥

d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để

2 2 2 . . . . 4 AB AC BC DH DA EH EB FH FC + + + + =

Câu 6 ( 0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 3 2 2 6 2025 y x xy x y A + + + + + =

……………Hết……………

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

CÂU ĐIỂM

Câu 1a

1 điểm

Chứng minh rằng tổng bình phương hai số lẻ bất kì không phải là số chính

phương.

0,25

0,25

0,5

Đặt ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 A k m = + + +

( ) 2 2 4 2 A m k m k = + + + +

Ta có A chia cho 4 dư 2 nên A không phải là số chính phương

Câu 1b

1 điểm

Chứng minh rằng

4 1 23 2

n A

+ = + là hợp số với n là số nguyên dương.

0,25

0,25

0.5

Ta có 4 1 4 1 2 2.16 2(mod5) 2 5 2 n n n k + + = ≡ ⇒ = +

5 2 3 2 9.243 2 0(mod11) k k A + ⇒ = + = + ≡

Ta có A chia hết cho 11 và 11 A A > ⇒ là hợp số

Câu 2a

2,0 điểm

Giải phương trình 2 2 2 2 ( 1) 3 ( 1) 2 0. x x x x + + + + =

1,0

1,0

Đặt

2 1 y x = + 2 2 3 2 0 ( )( 2 ) 0 y xy x y x y x ⇒ + + = ⇒ + + =

TH1: 2 2 1 0 ( 0,5) 0,75 0 y x x x x = −⇒ + + = ⇒ + + = ( vô nghiệm)

TH2: 2 2 2 2 1 0 ( 1) 0 1 y x x x x x = − ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ = − . PT có nghiệm 1 x = −.

Câu 2b

2,0 điểm

Ta có: 2(6x +7)2 (3x+ 4)(x + 1) – 12 = 0

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

2 2 6x 7 3x 4 x 1 12

6x 7 6x 8 6x 6 72

⇔ + + + =

⇔ + + + =

Đặt 6x + 7 = t, đẳng thức trên trở thành t2(t + 1)(t- 1) = 72

⇔t2(t2 - 1) = 72 ⇔t4 - t2 - 72 = 0 ⇔(t2 +8)(t2- 9) = 0 ⇔t2 = 9 (Vì t2 + 8 dương) ⇔t = 3 hoặc t = -3

Nếu t = 3 suy ra x = - 3 2

Nếu t = -3, suy ra x= - 3 5

Vậy x= - 3 2 hoặc x= - 3 5

2,0

Câu 2c

2,0 điểm Giải hệ phương trình

2 2

2 2 2 3 4 3 2 0

1.

x xy y x y

x y

 − + − + + =  + = 

1,0

0,5

Từ 2 2 2 3 4 3 2 0 ( 1)(2 2) 0 x xy y x y x y x y − + − + + = ⇒ − − − − =

TH1: 1 y x = − thay vào PT dưới ( ; ) (0; 1),(1;0) x y = −

TH2: 2 2 y x = − thay vào PT dưới 3 4 ( ; ) (1;0); ; 5 5 x y   = −    