Đề thi HSG cấp xã Toán 9 năm 2025 - 2026 xã Yên Thành - Nghệ An

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 02 trang)

ĐỀ THI HSG CẤP XÃ LỚP 9, NĂM HỌC 2025-2026 Môn: Toán

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3 điểm).

a. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: p2 - 1 chia hết cho 24

b. Số điện thoại cố định dùng để tiếp dân của xã X, tỉnh Nghệ An là số có dạng 366???????? തതതതതതതതതതതതത biết ???????? തതതതതതതത là số chính phương. Tìm 4 số cuối của số điện thoại đó.

Câu 2 (4 điểm)

a. Giải phương trình: (x - 2)(x - 4)(x - 5)(x -7) = 72

b. Giải hệ phương trình: ൜ ??−2??= 2 ??2 −??2 −3????+ ??+ 4??−3 = 0

Câu 3 (4 điểm)

a. Đầu năm học mới 2025 - 2026, cô giáo chủ nhiệm lớp 9A tiến hành cho mỗi tổ trong lớp mình bốc thăm may mắn nhận quà. Tổ của Lan có 11 thành viên bốc thăm ngẫu nhiên với thùng phiếu gồm 4 phiếu có quà và 7 phiếu không có quà. Mọi thành viên trong tổ được quyền chọn rút trước hoặc rút sau và sẽ biết kết quả ngay sau khi rút phiếu. Sau 4 lần rút thăm, kết quả có 1 phiếu có quà và 3 phiếu không có quà (các phiếu đã rút ra không trả lại vào thùng) thì đến lượt Lan rút phiếu. Tính xác suất để Lan rút được phiếu có quà?

b. Hai cửa hàng A và B cùng bán một lọai bánh với giá 10 000 đồng một cái nhưng mỗi cửa hàng có hình thức khuyến mãi khác nhau:

Cửa hàng A: Đối với 5 cái bánh đầu tiên mỗi cái giá 10 000 đồng. Với 5 cái bánh tiếp theo cửa hàng sẽ giảm giá 4% giá bán. Kể từ cái bánh thứ 11 trở đi mỗi cái bánh tính với giá 72% giá bán.

Cửa hàng B: Cứ mua 5 cái bánh thì được tặng thêm 1 cái bánh cùng loại.

Bạn Hoa có 250 000 đồng bạn nên chọn cửa hàng A hay cửa hàng B để mua được nhiều bánh hơn?

Câu 4 (8 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), đường cao BD, CE cắt nhau tại H.

a. Chứng minh: ????. ????= ????. ???? và ∆ AED ∆ ACB

b. Chứng minh: DE = BC.cos?????? ෣ = AH.sin?????? ෣

c. Tia phân giác của ?????? ෣ và ?????? ෣cắt AB và AC lần lượt tại I và K. Qua I và K lần

lượt vẽ các đường thẳng vuông góc với AB, AC chúng cắt nhau tại M. Chứng minh

HM luôn đi qua trung điểm của BC.

Câu 5 (1 điểm)

Một gia đình tiến hành trồng cây tràm con trên mảnh đất rừng. Xem các gốc cây tràm là các điểm (đường kính gốc cây không đáng kể), người ta trồng cây sao cho các tam giác có đỉnh là các điểm trùng với gốc cây tràm đều có diện tích không quá 500m2. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có diện tích không quá 2025m2 chứa tất cả các cây tràm trên. (Cho rằng mảnh vườn có diện tích đủ rộng để trồng cây) ……………Hết……………

Họ và tên thí sinh.............................................................. SBD.................

Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HSG CẤP XÃ LỚP 9, NĂM HỌC 2025-2026 Môn: Toán

Câu Nội dung Điểm Câu 1 3 điểm

Câu 1 ( 3 điểm).

a. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: p2 - 1 chia hết cho 24

b. Số điện thoại cố định dùng để tiếp dân của xã X, tỉnh Nghệ An là số có dạng 366???????? തതതതതതതതതതതതത biết ???????? തതതതതതതത là số chính phương. Tìm 4 số cuối của số điện thoại đó.

Câu 1a 1.5 điểm

Ta có p2 - 1 = (p-1)(p+1) Với p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ do đó p - 1 và p+1 là 2 số tự nhiên chẳn liên tiếp nên (p-1)(p+1) ⋮ 8 Lại có p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p2 ≡ 1 (mod3) Suy ra p2 - 1 ≡ 0 (mod3) Vì (3,8) = 1 nên p2 - 1⋮ 24

0.75

0.75

Câu 1b 1.5 điểm

Ta có ???????? തതതതതതതത=1000a + 100a +10 b + b với 0 < a ≤ 9 và 0 ≤b ≤ 9 ???????? തതതതതതതത=1100a + 11b = 11(100a + b) Vì 11 là số nguyên tố và ???????? തതതതതതതത là số chính phương nên 100a + b ⋮ 11 99a + a +b ⋮ 11 => a + b ⋮ 11 Mà 0< a +b ≤ 18 nên a + b =11 Ta có 11 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 Mà ???????? തതതതതതതത là số chính phương nên b ∈ {4; 5; 6; 9} Suy ra ???????? തതതതതതതത ∈ {7744; 6655; 5566; 2299} Lại có ???????? തതതതതതതത là số chính phương nên số thoả mãn là 7744

0,5

0,5

0.5

Câu 2 4 điểm a. Giải phương trình: (x- 2)(x - 4)(x - 5)(x -7) = 72

b. Giải hệ phương trình: ൜ ??−2??= 2 ??2 −??2 −3????+ ??+ 4??−3 = 0

Câu 2a 2.0 điểm (x- 2)(x - 4)(x - 5)(x -7) = 72

(x2 - 9x +14)(x2 - 9x + 20) - 72 = 0

Đặt x2 - 9x +17 = a

Ta có phương trình (a - 3)(a …