Đề chọn đội tuyển thi HSG tỉnh Toán 9 năm 2025 - 2026 xã Quảng Bình - Thanh Hóa

UỶ BAN NHÂN DÂN

XÃ QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2025-2026 MÔN: TOÁN

Ngày thi: 01/10/2025 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề gồm 01 trang).

Câu 1.(2,0 điểm )Cho biểu thức: 2 2 1 1 . 1 : 3 1 3 x x A x x x x x   + −   = − − −     +    

với 0; 1 x x ≠ ≠± .

Rút gọn biểu thức A, tìm giá trị nguyên của x để A nguyên. Câu 2. (2,0 điểm) Cho 0 a b c + + = . Tính:

3 3 2 2 ( ) A a b c a b abc = + + + −

Câu 3. (2,0 điểm) Giải phương trình: ( )

2

2 16 25 31 6 4 * 1 2 1 x x x x x − − + − = − +

Câu 4. (2,0 điểm) Đội tuyển học sinh giỏi Toán gồm 10 em: 9 nam và 1 nữ. Muốn dự đoán 1 em giải nhất, 1 em giải nhì và 1 em giải ba. Tính xác suất để dự đoán được 3 em mà trong đó giải nhất và giải nhì phải là hai người khác giới. Biết khả năng đạt giải của các bạn là như nhau. Câu 5. (1,5 điểm). Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60 km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 30 km người đó đã dừng lại nghỉ 30 phút . Do đó, để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h. Tính vận tốc dự định của người đó. Câu 6. (2,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (??; ??) thỏa mãn phương trình (??+ ??)(2??+ 3??)2 + 2??+ ??+ 2 = 0. Câu 7. (1.5 điểm) Gia đình Bác Tuấn muốn cải tạo một cái hồ nước nhỏ thành một hồ nước đẹp hơn để nuôi cá. Trong bản thiết kế hồ nước có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp hai lần chiều rộng. Sau khi thiết kế xong, kĩ sư tính được thể tích bằng

3 62 500 3 m . Theo thị trường xây dựng hiện nay, giá tiền xây dựng bình quân là 400000

đồng/m2 (bao gồm cả đáy và thành hồ). Hỏi chi phí thấp nhất mà gia đình Bác Tuấn phải trả để xây dựng hồ nước trên là bao nhiêu tiền. Câu 8. (5.5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC). Các đường cao BN và CM cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC, K là giao điểm của đường thẳng IH và đường thẳng MN. Qua I kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt đường thẳng CM và đường thẳng BN lần lượt tại E và Q. a) Chứng minh :   BQI ECI =

b) Chứng minh rằng

2 . IQ IE IC = và

2 KN HN KM HM   =    

c) Qua H kẻ các đường thẳng TF;JG;LO lần lượt song song với , , BC AC AB ( với

, , , , , ) T AB F AC J BC G AB L AC O BC ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ . Chứng minh:

2 2 2 4 3 TF JG LO BC AC AB       + + ≥            

Câu 9. (1.5 điểm) Cho một mảnh giấy hình vuông. Mảnh giấy này dược chia thành hai mảnh giấy bằng một đường cắt thẳng. Lấy một trong hai mảnh có được, ta lại làm như trên nhiều lần. Hỏi số lần cắt ít nhất phải là bao nhiêu đế có thẻ nhận được 100 đa giác 20 cạnh.

- HẾT -

UỶ BAN NHÂN DÂN

XÃ QUẢNG BÌNH

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2025-2026 MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2025-2026

MÔN TOÁN Câu Hướng dẫn giải

Câu 1 (2.0 điểm)

Với 0; 1 x x ≠ ≠±

2 2 1 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 1 . 1 : . : 3 1 3 3 1 3 x x x x x x A x x x x x x x x x   + − + − + −     = − − − = −       + +      

2 2(1 3 ) . 3 3 1 x x A x x x −   = −   −  

2 2(1 3 ) . 3 3 1 x x x x x −   = −   −  

2 1 x x = −

0,5

0,5

Với 0; 1 x x ≠ ≠± Ta có 2 2 2 1 1 x A x x = = + − −

A Z ∈ ⇔ 1 x −∈Ư(2) ⇔ { } 1 1; 2 x −∈± ±

x-1 -2 -1 1 2 x -1 (Loại) 0 (Loại) 2 (T/M) 3 (T/M)

0.25

0.25

0,25

Vậy 2 1 x A x = − với 0; 1 x x ≠ ≠± , Khi x = 2 hoặc x = 3 thì A nguyên 0,25

Câu 2

(2 điểm)

Ta có: 0 a b c a b c + + = ⇒ + = −

3 3 2 2 3 2 2 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) A a b c a b abc a b ab a b c a b abc = + + + − = + − + + + −

3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 ( ) 2 ( ) ( 2 ) c abc c a b abc c abc c a b c c a ab b = − + + + − = − + + + = − + + +

( )( ) 3 2 2 2 ( ) ( ) 0 c c a b c a b c c a b c a b c   = − + + = + − = + + + − =  

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 3

(2 điểm)

ĐKXĐ: 1 2 x ≠

Đặt 2 1, 1 2 a x b x = + = −

Khi đó: ( ) 2 2 16 25 1 8 1 2 34 8 34 x x x x a b − − = + + − − = + −

( ) 31 6 34 3 1 2 34 3 x x b + = − − = −

Khi đó (*) trở thành:

( ) ( )

2 2

8 34 34 3 4 8 34 34 3 4

4 3 …