Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 - 2026 xã Hải Châu - Nghệ An

UBND XÃ HẢI CHÂU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ, LỚP 9

NĂM HỌC 2025 - 2026 Môn: Toán (Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1. (2,5 điểm) a) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn: 3 3 3 3 2018 2021 a b c d    . Chứng minh rằng a b c d   là hợp số. b) Thực hiện chính quyền địa phương hai cấp, mỗi hộ gia đình trong tổ dân cư đều được gắn một số tự nhiên khác 0 (gọi là số nhà). Số nhà của bác An là một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng bình phương của số nhà bằng lập phương của tổng các chữ số của số nhà. Tìm số nhà của bác An. Câu 2. (6,0 điểm) a) Giải phương trình: ( 7)( 5)( 4)( 2) 72 x x x x     

b) Giải hệ phương trình: 2 2

1

7 x y xy x y xy         

Câu 3. (1,5 điểm)

Bác Bình muốn làm một cái bể nuôi cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông (như hình bên) có thể tích 0,5 m3. Hãy tìm độ dài cạnh MN và chiều cao AM của bể nước sao cho tổng diện tích các mặt bên và mặt đáy (không tính mặt nắp) của bể nước nhỏ nhất. Câu 4. (2,0 điểm)

Trong một hộp đựng những chiếc kẹo giấy màu xanh lá, đỏ, trắng, vàng và xanh dương. Số kẹo giấy màu trắng nhiều gấp ba lần số kẹo giấy màu đỏ, số kẹo giấy màu vàng gấp đôi số kẹo giấy màu đỏ, số kẹo giấy màu xanh lá bằng số kẹo giấy màu xanh dương và bằng số kẹo giấy màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên một chiếc kẹo giấy. Tính xác suất của biến cố A: “Chọn được chiếc kẹo giấy màu vàng hoặc màu đỏ”. Câu 5. (7,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh:   AEF = ABC. b) Chứng minh rằng điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF. c) Cho B và C cố định, A di chuyển sao cho góc BAC không đổi. Chứng minh rằng khi điểm A di chuyển thì độ dài đoạn thẳng EF không đổi. Câu 6. (1,0 điểm)

Cho một đa giác đều có 2025 đỉnh. Tô màu các đỉnh của đa giác bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác cân có ba đỉnh được tô cùng một màu.

.................Hết................. Họ và tên thí sinh : ......................................................Số báo danh: .................

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 a) gt: 3 3 3 3 2018 2021 a b c d   

3 3 3 3 3 3 2019 2022 ( ) a b a b c d     

3 3 3 3 3 3 2019 2022 3 (vì 2019 3,2022 3) (1) a b c d a b         Xét 3 ( 1)( 1) 3 (vì 1, , 1 là 3 so nguyên liên tiep) a a a a a a a a        Tương tự: 3 3 b b 

3 3 c c 

3 3 d d  

3 3 3 3 ( ) 3 (2) a b c d a b c d          Từ (1) và (2) 3 a b c d     mà * 1, 1, 1, 1 ( , , , ) a b c d a b c d     

4 3 a b c d       Vậy a b c d    là hợp số. b) Gọi số nhà: n ab  , ta có:

2 3 ( ) ( ) ab a b gt  

Đặt

2 3 6 ( ) ( ) ab a b x x    

2

3 ( ) x a b I x ab

      

Do 3 10 x ab   nên 3 x 

2 18 x a b    nên 4 x  {3;4} x   Xét 3 x  từ (I) ta có: 9, 27 a b ab    (nhận) Xét 4 x , từ (I) ta có: 16, 64 a b ab    (loại) Vậy 27 n  Câu 2. a) Giải phương trình: ( 7)( 5)( 4)( 2) 72 x x x x     

2 2 ( 9 14)( 9 20) 72 x x x x      ( 14)( 20) 72 t t    ( 8)( 26) 0 t t   

8 0 8

26 0 26

t t

t t

            

Tập nghiệm của phương trình là {1,8} S  .

b) Giải hệ phương trình: 2 2

1

7 x y xy x y xy         

Đặt S = x+y và P xy  . Ta có hệ:

2

1

3 7

S P

S P

      

2 3 3 7 S S   2 3 4 0 S S    Có hai nghiệm: 1 1 S  và 2 4 S . Trường hợp 1: 1 S , 1 1 1 2 P S  