Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 - 2026 xã Đông Lộc - Nghệ An

ỦY BAN NHÂN DÂN

XÃ ĐÔNG LỘC (Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ LỚP 9

NĂM HỌC 2025-2026

Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,5 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để 3 2 A n n 7n 10 = − − + là số nguyên tố. b) Cho là ba số nguyên. Biết 3 3 3 S a b c = + + chia hết cho 3. Chứng minh rằng: P a b c 2025 = + + + chia hết cho 3.

c) Cho hai số tự nhiên a; b thỏa mãn 2 2 2025a a 2026b b + = + .

Chứng minh rằng: ( ) 2025 a b 1 + + là số chính phương.

Câu 2. (6,0 điểm)

a) Giải phương trình: (5x + 2025)3 - (2x + 2026)3 = (3x – 1)3

b) Giải hệ phương trình: x y xy 1 0 3x 2y 22 + + + =  − = 

.

Câu 3. (1,5 điểm) Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt. Công ty dự định nếu giá tour là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tour 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour là bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt là lớn nhất.

Câu 4. (2,0 điểm)

Trong túi đựng 48 viên bi cùng kích thước và khối lượng với hai màu đỏ và xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi. Biết rằng xác suất lấy được viên bi đỏ bằng 92% xác suất lấy được viên bi màu xanh. Hỏi trong túi có bao nhiêu viên bi màu đỏ, bao nhiêu viên bi màu xanh?

Câu 5. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC < và đường cao AH . Gọi

, E F là chân các đường vuông góc hạ từ H lên , AC AB . Gọi I là giao điểm của AH và

EF , BI cắt AC tại điểm . P Đường thẳng qua A song song với BI cắt BC tại Q.

a) Chứng minh B là trung điểm QH .

b) CI cắt AB tại L . Chứng minh:

2

2 AP BA PC BC = và 1. AP AL PC LB + =

c) Gọi M là giao điểm của FE và CB . Kẻ HT vuông góc với . AM

Chứng minh rằng  0 90 . BTC = Câu 6. (1,0 điểm) Cho một đa giác đều 2025 cạnh. Ta sơn các đỉnh của đa giác này bởi 2 màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành 1 tam giác cân.

……………Hết……………

Họ và tên thí sinh.............................................................. SBD.................

Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

, , a b c

KỲ THI HỌC SINH GIỎI XÃ LỚP 9 NĂM HỌC 2025 – 2026

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Câu Đáp án Điểm

Câu 1. (2,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để A = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố. b) Cho là ba số nguyên. Biết

3 3 3 S a b c = + + chia hết cho 3.

Chứng minh rằng: 2025 P a b c = + + + chia hết cho 3. c) Cho hai số tự nhiên ; a b thỏa mãn 2 2 2025 2026 + = + a a b b .

Chứng minh rằng: ( ) 2025 1 + + a b là số chính phương.

1

(2,5)

a (1đ)

Ta có: A = (n – 2)(n2 + n – 5)

A là số nguyên tố nên (n – 2) hoặc (n2 + n – 5) là ước của 1

0,5

Nếu n – 2 = 1 thì n = 3 khi đó A = 7 (chọn)

Nếu n – 2 = -1 thì n = 1 khi đó A = 3 (chọn)

Nếu n2 + n – 5 = 1 thì (n + 3)(n – 2) = 0

Với n là số tự nhiên nên n = 2 khi đó B = 0 (loại)

Vậy n = 3 và n = 1 thì A là số nguyên tố.

(Nếu HS thiếu trường hợp n – 2 = -1 ⇒ n = 1 thì trừ 0,25đ)

0,5

b (1đ)

Ta chứng minh

3 3 − n n với mọi n nguyên. Nên:

3 3 3 3; 3; 3 − − −    a a b b c c

0,5

3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2025 3 − = − + − + − −  S P a a b b c c

Vì 3 3 ⇒   S P

0,5

c (0,5đ)

( )( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2025 2026 2025 2025

2025 2025 1 1 .

+ = + ⇔ − + − =

⇔ − + + =

a a b b a b a b b

a b a b b

0,25 + GT suy ra Với 0 a b a b > ⇒ − > Gọi ( ) ; 2025 2025 1 − + + = a b a b d

2 2 . 2025 2025 1

−  ⇒ ⇒ ⇒ ⇒  + + 

    

a b d b d b d a d a b d

2025 2025 1 1. ⇒ + ⇒ ⇒ =   a b d d d ( ) ; 2025 2025 1 1 ⇒ − + + = a b a b hay a b − và 2025 2025 1 + + a b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Mặt khác ( )( ) 2 2025 2025 1 − + + = a b a b b là số chính phương nên

suy ra ( ) 2025 1 + + a b là số chính phương (đpcm).

0,25

Câu 2. (6 điểm) a) Giải phương trình: (5x + 2025)3 - (2x + 2026)3 = (3x – 1)3

, , a b c