Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 - 2026 xã Diễn Châu - Nghệ An

UBND XÃ DIỄN CHÂU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ LỚP 9

NĂM HỌC 2025 - 2026 Môn: Toán (Thời gian làm bài 150 phút) -------------------------------------------------------------- Câu 1. (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: A = 2024m3 + m là hợp số, với m là số nguyên dương. b) Chị Mai cần một số tiền để mua xe, chị vay tiền ngân hàng và bạn bè. Biết rằng nếu chị Mai vay ở ngân hàng với lãi suất 1,2%/tháng và vay ở bạn bè 0,8%/tháng thì lãi hàng tháng chị phải trả là 540.000 đồng. Nếu chị Mai vay ở ngân hàng với lãi suất 0,9%/tháng và ở bạn bè 0,5%/tháng thì tiền lãi hàng tháng chị phải trả 390.000 đồng. Hỏi Chị Mai vay ở mỗi nơi bao nhiêu tiền? Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 2 3 2 0 + + + + −− = x x x

b) Giải hệ phương trình: ( )( )

( )( )

2

3 2 2 4 2

2 4

 = + −  = + − 

x y y

x x y xy

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Một con ếch đang ở giữa một bảng có 5×5 ô vuông được tô hai màu trắng và đen (như hình vẽ). Mỗi bước nhảy con ếch nhảy sang một ô khác có chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô trước đó. Tính xác suất sau hai bước nhảy con ếch ở ô màu đen.

b) Một công ty chuyên sản xuất đĩa quang với chi phí mỗi đĩa là 40 (nghìn đồng). Theo nghiên cứu, nếu mỗi đĩa bán ra với giá x (nghìn đồng) thì số lượng đĩa bán được sẽ

* 120 ( ) x x N −  . Hãy xác định giá bán của mỗi đĩa sao cho lợi nhuận mà công ty thu được là cao nhất? Câu 4. (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BH, CH. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại F. Gọi O là giao điểm của AH và DE.

a) Chứng minh rằng: AH2 = BH.CH và AD.AB = AE.AC

b) Gọi P là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: HF = HA.tanOPF c) Giả sử đường cao AH cố định; B và C thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn ABC vuông tại A và AB < AC. Chứng minh rằng, trực tâm của AMN là một điểm cố định. Câu 5. (1,0 điểm)

Trên bàn có 2026 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 2026. Hai bạn An và Bình tiến hành trò chơi bằng cách thay phiên nhau lấy thẻ, đến lượt chơi mỗi bạn sẽ lấy một thẻ cho đến khi hết tấm thẻ trên bàn. Sau đó mỗi người cộng số trên các thẻ mà mình có, ai ra số chẵn sẽ thắng. Nếu An chơi trước thì bạn nào có chiến thuật để luôn thắng và chiến thuật đó như thế nào?

……….Hết……….

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Đáp án Điểm

Câu 1. (4,0 điểm) a) Cho m là số nguyên dương. Chứng minh rằng 2024m3 + m là hợp số. b) Chị Mai cần một số tiền để mua xe, chị vay tiền ngân hàng và bạn bè. Biết rằng nếu chị Mai vay ở ngân hàng với lãi suất 1,2%/tháng và vay ở bạn bè 0,8%/tháng thì lãi hàng tháng chị phải trả là 540.000 đồng. Nếu chị Mai vay ở ngân hàng với lãi suất 0,9%/tháng và ở bạn bè 0,5%/tháng thì tiền lãi hàng tháng chị phải trả 390.000 đồng. Hỏi Chị Mai vay ở mỗi nơi bao nhiêu tiền?

a 1,5đ

Với m nguyên dương Ta có 2024m3 + m = 2025m3 – (m3 – m) = 2025m3 – m(m – 1)(m + 1) Có 2025 ⁝ 3, m(m – 1)(m + 1) là tích của 3 số tự nhiên nên chia hết cho 3.  2024m3 + m ⁝ 3 Mà 2024m3 + m > 3 Vậy 2024m3 + m là hợp số

0,5

0,5

0,5

b 1,0đ

Gọi x là số tiền vay ngân hàng, y là số tiền vay ở bạn bè (x, y > 0; đồng)

Giải hệ ra được x = 35.000.000; y = 15.000.000

Vậy An vay ngân hàng 35 triệu đồng, vay bạn bè 15 triệu đồng

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu 2. (6,0 điểm) a) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 2 3 2 0 x x x + + + + − =

b) Giải hệ phương trình: ( )( )

( )( )

2

3 2 4 2 2

2 4

 = − +  = + − 

x y y

x x y xy

a 3,0đ

Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 2 3 2 0 + + + + −− = x x x (1)

Đặt

1

2 3 2

= +  = +  = −− 

a x b x c x

, khi đó ( ) 0 2 a b c c a b + + =  = −+

Ta có :

( )   ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 3

3 3 3 2 2 3

2 2

1 0 0( (2))

3 3 0

3 3 0 3 0 3 0 2

a b c a b a b do

a b a a b ab b

a b ab ab a b abc do

 + + =  + + −+ =

 + − + + + =

− + = − + =  =

0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 2 0 3 2

  = + = = −       =  + =  = −       = −− = −   = 

a x x b x x c x x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 3 1; ; 2 2 −   = − −     …