Đề HSG Toán 9 lần 2 năm 2025 - 2026 trường THCS Trần Hưng Đạo - Gia Lai

TRƯỜNG THCS TRẦN HƯNG ĐẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (Lần 2)

NĂM HỌC 2025 – 2026

Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI:

Bài 1. (4.0 điểm): Cho biểu thức

2 2

2 2 x + x x +1 1 2 - x P = : + + x - 2x +1 x x -1 x - x      

a) Rút gọn P

b) Tìm x để -1 P = 2

Bài 2. (4.0 điểm).

a) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh : a4 + b4 + c4 = 2 1 ;

b) Chứng minh rằng : b c c a a b a b c − − −   + +    

a b c b c c a a b   + +   − − −  

= 9

Nếu a + b + c = 0. Bài 3. (4.0 điểm): Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 6 7 12 9 20 11 30 15 x x x x x x x x + + + = + + + + + + + + ;

b)

2 2 5 1 1 1 3 1 1 2

x y x y x x y

+  + =  − +   − = − + 

Bài 4. (2.0 điểm). Một nhà máy sản xuất hai loại xi măng: loại I và loại II. Cứ sản xuất mỗi tấn xi măng loại I thì nhà máy thải ra 0,5 kg CO₂ (carbon dioxide) và 0,3 kg SO₃ (sulfur trioxide), sản xuất mỗi tấn xi măng loại II thì nhà máy thải ra 0,8 kg CO₂ và 0,45 kg SO₃. Trung bình mỗi ngày, nhà máy nhận được thông số lượng khí thải CO₂ và SO₃ lần lượt là 1 700 kg và 975 kg. Tính khối lượng xi măng loại I và loại II trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất được. Bài 5. (4.0 điểm) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh ∆EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 6. (2.0 điểm) Flycam là từ viết tắt của Fly camera. Đây là thiết bị bay không người lái có lắp camera hay máy ảnh để quay phim hoặc chụp ảnh từ trên cao. Một chiếc Flycam đang ở vị trí A cách cây cầu BC (theo phương thẳng đứng) một khoảng AH = 120 m. Biết góc tạo bởi phương AB, AC với các phương vuông góc với mặt cầu tại B, C lần lượt là  0 ABx 30 = ,  0 ACy 45 = . Tính độ dài BC của cây cầu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

……………………….HẾT………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Câu ĐÁP ÁN Biểu điểm

Tổng

điểm

Bài 1 (4.0đ)

a

ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 1 0.5

2.0

2 x(x 1) x 1 P : (x 1) x(x 1) + + = − − 0.5

2 x(x 1) x(x 1) . (x 1) x 1 + − = − + 0.5

2 x x 1 = −

0.5

b

2 1 1 2 1 2 x P x − − = ⇔ = − (x ≠ 0; x ≠ 1) 1.0

2.0 Tìm được x = 1 2 1.0

Bài 2 (4.0đ)

a

Bình phương hai vế của a2 + b2 + c2 = 1 ta được :

a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + a2c2) = 1. 0.5

2.0

Bình phương hai vế của a + b + c = 0 ta được :

a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0

⇒ ab + bc + ca = 2 1 − (vì a2 + b2 + c2 = 1)

0.5

Bình phương của đẳng thức ab + bc + ca = 2 1 − ta được:

a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2abc(a + b + c) = 4 1

⇒ a2b2 + b2c2 + a2c2 = 4 1 (vì a + b + c = 0 )

0.5

Vậy a4 + b4 + c4 + 2. 4 1 = 1

⇒ a4 + b4 + c4 = 2 1

0.5

b

Biến đổi vế trái:

VT =       − + − + − c b a b a c a c b       − + − + − b a c a c b c b a

= 3 + ) ( ) ( a c a c b b − − + ( ) ( ) − − c b c a a b + ) ( ) ( c b b a c a − − + ) ( ) ( b a b a c c − − + ) ( ) ( c b c b a a − − + ) ( ) ( a c c b a b − −

0.5

2.0 * ) ( ) ( a c a c b b − − + ) ( ) ( a c c b a b − − =  

  

 − + −

c

b a

a

c b

a c b −

= ) ( ) ( 2 2

a c ac ab a c bc b − − + − = ) ( ) )( ( a c ac a bc a c b − − − = ac a c b b ) ( − − = ac b2 2

0.5

* ) ( ) ( c b b a c a − − + ) ( ) ( c b c b a a − − = bc a 2 2

* ) ( ) ( b a a c b c − − + ) ( ) ( b a b a c c − − = ab c2 2

0.5