Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 - 2026 sở GDĐT Hà Nội

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 2

2. PHẦN LỜI GIẢI

Câu 1: (5,0 điểm)

1) Giải phương trình x+4 √

5−x = 9.

2) Cho a,b,c là các sốthực đôi một khác nhau thỏa mãn (a2 +1)(b+c) = (b2 +1)(c+a) = −10. Tính giá trịcủa biểu thức P = (a+b)(b+c)(c+a).

Lời giải.

1) Điều kiện xác định x ≤5. Phương trình đã cho tương đương

(5−x)−4 √

5−x+4 = 0

hay √

5−x−2 2 = 0 √

5−x = 2.

Giải tìm được x = 1. Thửlại nghiệm này thoảmãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

2) Từgiảthiết ta có (a2 +1)(b+c) = (b2 +1)(c+a), khai triển ta có

a2b+a2c+b+c = b2c+b2a+c+a

Chuyển vếta có

a2b+a2c+b+c−b2c−b2a−c−a = 0

(a2b−b2a)+(a2c−b2c)+(b−a) = 0 ab(a−b)+c(a−b)(a+b)−(a−b) = 0 (a−b)(ab+ca+cb−1) = 0

Lưu ý rằng a,b,c là đôi một phân biệt, nên ab+bc+ca = 1. Suy ra

a2 +1 = a2 +ab+bc+ca = (a+b)(a+c),

do đó −10 = (a2 +1)(b+c) = (a+b)(b+c)(c+a).

Vậy P = −10.

Câu 2: (5,0 điểm)

1) Một tiệm bánh ngọt dựđịnh sản xuất hai loại bánh cho một đơn hàng. Lượng đường cần cho mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là 40g và 60g. Lợi nhuận thu được khi bán mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là 12 nghìn đồng và 15 nghìn đồng. Biết rằng tiệm chỉ còn 14kg đường đểlàm bánh và tiệm phải làm ít nhất 80 chiếc bánh loại I và 100 chiếc bánh loại II. Hỏi tiệm nên làm bao nhiêu chiếc bánh mỗi loại đểlợi nhuận thu được là lớn nhất?

2) Cho các sốnguyên dương a,b,c thỏa mãn a2 −6b2 = 1 và a2 +4ab+4b2 = 11c+1. Chứng minh c chia hết cho 40

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 3

Lời giải.

1) Gọi x,y (x,y ∈N) lần lượt là sốbánh loại I, II cần sản xuất thì theo giảthiết:   

 

x ≥80 y ≥100 40x+60y ≤14000 hay 2x+3y ≤700

Ta cần tìm x,y sao cho lợi nhuận thu được A = 12x+15y (nghìn đồng) dạt giá trịlớn nhất.

Ta có A = 12x+15y = 6(2x+3y)−3y ≤6ã700−3ã100 = 3900

Dấu bằng xảy ra khi và chỉkhi

( 2x+3y = 700 y = 100 hay

( x = 200 y = 100 (thỏa mãn x ≥80)

Vậy tiệm nên làm 200 bành loại I và 100 bánh loại II.

2) Nếu b lẻthì b2 ≡1 (mod 8) nên a2 ≡6b2 + 1 ≡7 (mod 8) vô lý. Vậy b chẵn nên a lẻ. Suy ra (a+2b)2 ≡1 (mod 8) nên

11c ≡(a+2b)2 −1 ≡0 (mod 8).

Do (11,8) = 1 nên 8 | c.

Nếu ab không chia hết cho 5 thì a2,b2 ≡1,4 (mod 5), suy ra a2 −6b2 ≡0,2,3 (mod 5) mâu thuẫn với giảthiết. Vậy 5 | ab. Từgiảthiết cũng suy ra a2 +4b2 ≡1 (mod 5) nên

11c ≡(a2 +4b2)+4ab−1 ≡0 (mod 5).

Do (11,5) = 1 nên 5 | c. Vậy ta có 8 | c và 5 | c. Kết hợp với (5,8) = 1 suy ra 40 | c.

Câu 3: (2,0 điểm)

Với a,b,c là các sốthực không âm thoảmãn a + b + c = 1, tìm giá trịlớn nhất và giá trịnhỏ nhất của

P = a(1−b)

3−a + b(1−c)

3−b + c(1−a)

3−c .

Lời giải. Chú ý 0 ≤ab+bc+ca ≤1

3(a+b+c)2 = 1

3.

Tìm min. Bằng biến đổi tương đương, ta chứng minh được

x 3−x ≥27x−1

64 , ∀x < 3.

Suy ra

P ≥∑ (27a−1)(1−b)

64 .

Do đó

P ≥27−27∑ab−2

64 ≥27−9−2

64 = 1

4.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 4

Dấu ” = ” xảy ra khi a = b = c = 1

3. Giá trịnhỏnhất của P là 1

4.

Tìm max: Ta có

P ≤∑ a(1−b)

2 = ∑a−∑ab

2 .

Suy ra

P ≤1−∑ab

2 ≤1

2.

Dấu ” = ” xảy ra chẳng hạn khi b = c = 0 và a = 1.

Giá trịlớn nhất của P là 1

2.

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại điểm H.

a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh bốn điểm D,F,E,I cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng DF cắt đường thẳng BH tại điểm K. Gọi L là điểm đối xứng với điểm K qua điểm H. Gọi P là giao điểm của đường thẳng IE và đường thẳng CH. Chứng minh đường thẳng LP song song với đường thẳng HI.

c) Đường thẳng qua điểm B và vuông góc với AB cắt đường trung trực của đoạn thẳng BE tại điểm G. Gọi Q là điểm đối xứng với điểm D qua điểm H. Chứng minh d EQL = [ EGC.

A

B C D

E

F

I

K

H L

P

G

Q

Lời giải.

a) Đểý rằng các tứgiác BDHF và CDHE là các tứgiác nội tiếp do [ BFH = [ BDH = 90◦và [ CDH = [ CEH = 90◦. Ta thu được [ HDF = [ HBF = [ HCE = [ HDE. Như vậy, [ FDE = [ HDF + [ HDE = 2 d ABE. Mặt khác, từtính chất trung tuyến của tam giác vuông ta được IE = IF = IB = IC, vì thếI là tâm …