Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 - 2026 trường THCS Ký Phú - Thái Nguyên

UBND XÃ VẠN PHÚ TRƯỜNG THCS KÝ PHÚ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2025 – 2026

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm có 01 trang)

Bài 1 (6,0 điểm). Cho biểu thức ( ) 2 3 3 3 P 2 3 1 3

x x x x x x x x

− − + = − + − − + −

.

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tính giá trị của biểu thức P biết x = 4.

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Bài 2 (2,0 điểm).

a. Cho a, b, c là các số nguyên bất kỳ, chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho

4 thì (a + b)(b + c)(c + a) – abc chia hết cho 4.

b. Tìm tất cả các số nguyên k để k4 – 8k3 + 23k2 – 26k + 10 là số chính phương.

Bài 3 (2,0 điểm). Tìm các hệ số ??, ?? sao cho đa thức P(x) = 4x4 – 11x3 – 2ax2 + 5bx – 6 chia hết cho đa thức x2 – 2x – 3. Bài 4 (3,0 điểm). Bạn Mai gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất (con xúc xắc 6 mặt) hai lần liên tiếp. Tính xác suất của các biến cố sau”

a. A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là khác nhau”. b. B: “Có ít nhất một lần gieo số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 6 chấm”. Bài 5 (6,0 điểm). Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d cố định, d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Từ O kẻ OH vuông góc với đường thẳng d (H ∈ d). Nối A với B, AB cắt OH tại K và cắt OM tại I . Tia OM cắt (O;R) tại E.

a. Chứng minh rằng năm điểm A, O, B, H, M cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh rằng OK.OH = OI.OM

c. Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn

nhất.

Bài 6 (1,0 điểm). Trên một cái sân có bảng kẻ 3 3 × ô vuông, trong mỗi ô vuông này có một học sinh đứng trong đó. Sau một hồi còi, tất cả các học sinh phải di chuyển sang một ô vuông bên cạnh. Chứng tỏ rằng sau một hồi còi đó có một ô vuông mà trong đó có ít nhất hai học sinh.

------------ Hết ----------

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên……………………………………………… SBD………………….

UBND XÃ VẠN PHÚ TRƯỜNG THCS KÝ PHÚ

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2025 – 2026

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN

I. Hướng dẫn chung

Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

II. Đáp án và thang điểm

Bài Nội dung Điểm

Bài 1

(6đ)

Cho biểu thức ( ) 2 3 3 3 P 2 3 1 3

x x x x x x x x

− − + = − + − − + −

.

a. Rút gọn biểu thức P.

3,0

Điều kiện xác định: 0; 9 x x ≥ ≠ 0,5

Ta có ( ) 2 3 3 3 P 2 3 1 3

x x x x x x x x

− − + = − + − − + −

( ) ( )( ) ( )( )

2 3 2 3 3 1

1 3

x x x x x

x x

−− − − + + = + −

0,5

( )( )

( )( )

3 2 12 18 4 3

1 3

3 8 24

1 3

−− + − − − − = + −

− + − = + −

x x x x x x

x x

x x x x

x x

0,5

0,5

( ) ( ) ( )( )

3 8 3

1 3

8 1

− + − = + −

+ = +

x x x

x x

x x

0,5

0,5

b. Tính giá trị của P biết x = 4. 1,5

Với ??= 4 thoả mãn ĐKXĐ Suy ra

??= 4 + 8

√4 + 1

= 12 2 + 1 = 12

3 = 4

0,5

1,0

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P 1,5