Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 - 2025 sở GDĐT Hưng Yên

Đềthi HSG tỉnh Hưng Yên 2024-2025

xytunghoanh

Ngày 4 tháng 3 năm 2025

1 Đềthi

Bài 1 (4 điểm).

(a) Cho A = 3 √x + 2, với x =

r

√

3 −1 + q

6 − p

49 −8 √

3. Tính T = A+A2+A3+...+A2025.

(b) Cho a, b > 0 thoảmãn a ̸= b và a + 2b = 1. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

Q =

√a − √

b √a + √

b − √a + √

b √a − √

b

! 1

a −1

b

.

Bài 2 (4 điểm).

(a) Trong mặt phẳng toạđộOxy, viết phương trình đường thẳng (d) có hệsốgóc âm đi qua điểm M(−1; −5) và giao với parabol (P) : y = 4x2 tại đúng một điểm.

(b) Giải hệphương trình ( (y2 −y + 1)√x −y3 −y + x = 0 2x2y2 −x2 −3y2 + 1 = p

x5 + y8 + 1

Bài 3 (4 điểm).

(a) Tìm tất cảcác cặp giá trịnguyên (x, y) thoảmãn phương trình

x2y2 −4xy2 −2x3 + 5x2 + 4y2 + 4x −32 = 0

(b) Một hộp chứa 9 thẻđược đánh sốtừ1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên từhộp ra hai thẻ. Tính xác suất của biến cốE: "Tích hai sốghi trên thẻlà một sốchẵn".

1

Bài 4 (2 điểm). Tam giác ABC có ∠B và ∠C là các góc nhọn thoảmãn điều kiện

sin2 B + sin2 C cos2 B + cos2 C = tan2 B + tan2 C

2 .

Chứng minh rằng △ABC là tam giác cân.

Bài 5 (4 điểm). Cho △ABC nhọn nội tiếp (O). Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

(a) Chứng minh rằng: AH = 2OM

(b) Gọi K là giao điểm các đường phân giác ∠ABH và ∠ACH. Chứng minh rằng đường thẳng MK chia đôi AH.

Bài 6 (2 điểm). Cho 3 sốthực dương a, b, c thoảmãn điều kiện ab + bc + ca = 2025. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

P =

√

a2 + 2025 + √

b2 + 2025 + √

c2 + 2025 √

ab + √

bc + √ca

2 Lời giải

Bài 1 (4 điểm).

(a) Cho A = 3 √x + 2, với x =

r

√

3 −1 + q

6 − p

49 −8 √

3. Tính T = A+A2+A3+...+A2025.

(b) Cho a, b > 0 thoảmãn a ̸= b và a + 2b = 1. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

Q =

√a − √

b √a + √

b − √a + √

b √a − √

b

! 1

a −1

b

.

Lời giải.

(a) Điều kiện: x ≥0.

Biến đổi liên tiếp x ta được

x =

s

√

3 −1 +

r

6 − q

49 −8 √

3 =

s

√

3 −1 +

r

6 − √

48 −1 =

r√

3 −1 + √

3 −2 = 1.

Do đó A = 3 √x + 2 = 3 1 + 2 = 1.

Nên T = 1 + 12 + 13 + ... + 12025 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 | {z } 2025 sốhạng 1

= 2025.

Vậy T = 2025

2

(b) Biển đổi biểu thức Q và áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được

Q =

√a − √

b √a + √

b − √a + √

b √a − √

b

! 1

a −1

b

=

(√a − √

b)2 −(√a + √

b)2

(√a + √

b)(√a − √

b)

! b −a

ab

=

−4 √

ab a −b

! b −a

ab

= 4 √

ab = 4 √

2 √

2a.b

≥ 4 √

2 (2a+b

2 ) ≥8 √

2

.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi 2a = b hay a = 1

4 và b = 1

2. Vậy max Q = 8 √

2 đạt được khi và chỉkhi a = 1

4 và b = 1

2.

Bài 2 (4 điểm).

(a) Trong mặt phẳng toạđộOxy, viết phương trình đường thẳng (d) có hệsốgóc âm đi qua điểm M(−1; −5) và giao với parabol (P) : y = 4x2 tại đúng một điểm.

(b) Giải hệphương trình ( (y2 −y + 1)√x −y3 −y + x = 0 2x2y2 −x2 −3y2 + 1 = p

x5 + y8 + 1

Lời giải.

(a) Gọi đường thẳng cần tìm là (d) : y = ax + b với a < 0. Vì đường thẳng (d) đi qua điểm M(−1; −5) nên −5 = −a + b hay b = a −5. Do đó ta có (d) : y = ax + a −5. Gọi giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là W(xA, yA) và giao điểm này là duy nhất theo giảthiết. Thếthì ( yA = axA + a −5 ya = 4x2 A

Nên

4x2 A = axA + a −5

4x2 A −axA −a + 5 = 0

Vì tính duy nhất của xA nên ∆xA = a2 + 16a −42.5 = 0. Do đó a = −20 (thoảmãn) hoặc a = 4 (không thoảmãn). Cuối cùng, ta có đường thằng cần tìm là (d) : y = −20a −25.

(b) Điều kiện: x ≥0 và x5 + y8 + 1 ≥0 Ta có ( (y2 −y + 1)√x −y3 −y + x = 0 (1) 2x2y2 −x2 −3y2 + 1 = p

x5 + y8 + 1 (2)

3