Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 - 2025 sở GDĐT Phú Yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH PHÚ YÊN Ngày thi: 05/03/2025

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024 – 2025

Câu 1: (4.00 điểm) Cho biểu thức: ??= ቀ ??−1

??+2√??+1+1 + 1

√??+1+2ቁ× √??+1+1

√??+1−1

a) Tìm điều kiện xác định của ??

b) Chứng minh rằng: ??= √??+1+1

√??+1

c) Với giá trị nguyên nào của ?? thì ?? có giá trị nguyên.

Câu 2: (3.00 điểm) Cho

⎩ ⎪⎨

⎪⎧??= ??+ 1 ?? ??= ??+ 1 ??

??= ????+ 1 ????

và biểu thức ??= ??2 + ??2 + ??2 −??????

Chứng minh rằng với mọi giá trị của ??, ?? thì biểu thức ?? không phụ thuộc vào biến ??, ??.

Câu 3: (4.00 điểm) Giải phương trình sau: ??2 + ቀ ??

??−1ቁ 2 = 5

4

Câu 4: (4.00 điểm)

1. Cho đường tròn tâm (O) và hai dây cung MN, PQ cắt nhau tại I với cung QN không chứa

điểm P và cung MP không chứa điểm Q. Chứng minh rằng: ?????? ෢= 1

2 ????(???? ෢+ ???? ෢).

2. Chứng minh rằng một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp. 3. Trên đường tròn tâm (O) lấy ba điểm A, B, C sao cho ???? ෢= ???? ෢. Dựng hai dây cung BD và BE, chúng cắt dây AC lần lượt tại hai điểm M và N. Chứng minh rằng. a) Tứ giác EDMN là tứ giác nội tiếp b) Nếu AN = CM thì tứ giác EDMN là hình gì? Vì sao? Câu 5: (3.00 điểm) Cho hai đường tròn (O1; R) và (O2; r) tiếp xúc ngoài tại I (R > r). Một đường thẳng d không đi qua I đồng thời tiếp xúc với (O1; R) và (O2; r) lần lượt tại hai điểm A, B. Gọi H là chân đường cao kẻ từ O2 đến cạnh O1A. Gọi M là trung điểm của AH, đường thẳng qua M vuông góc với AH cắt đường tròn (O1; R) tại điểm K (K khác phía I so với AH). Chứng minh rằng: a) AK = √????. b) Đường thẳng KH tiếp xúc với (O2; r).

Câu 6: (2.00 điểm) Cho hai số ??≥0, ??≥0. Chứng minh rằng: (??−2??)(1−2????)

(??+1)2(1+2??)2 ≤ 1

4

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ YÊN

NĂM HỌC 2024 – 2025 (ĐÁP ÁN THAM KHẢO)

Câu 1: (4.00 điểm) Cho biểu thức: ??= ቀ ??−1

??+2√??+1+1 + 1

√??+1+2ቁ× √??+1+1

√??+1−1

a) Tìm điều kiện xác định của ??

b) Chứng minh rằng: ??= √??+1+1

√??+1

c) Với giá trị nguyên nào của ?? thì ?? có giá trị nguyên.

Bài giải:

a) Để biểu thức ?? xác định thì: ቐ ??+ 2√??+ 1 + 1 ≠0 √??+ 1 −1 ≠0 ??+ 1 ≥0

Với ??+ 2√??+ 1 + 1 ≠0 thì ta có:

??+ 2√??+ 1 + 1 = √??+ 1൫√??+ 1 + 2൯≠0

Suy ra: √??+ 1 ≠0 hoặc √??+ 1 + 2 ≠0 (luôn đúng) Do đó: √??+ 1 ≠0, suy ra ??≠−1 Với √??+ 1 −1 ≠0 thì ta có:

√??+ 1 ≠1 ??+ 1 ≠1 ??≠0 Với ??+ 1 ≥0 thì ta có: ??≥−1 Vậy để biểu thức ?? xác định thì: ??> −1 và ??≠0

b) ??= ቀ ??−1

??+2√??+1+1 + 1

√??+1+2ቁ× √??+1+1

√??+1−1

??= ൬ ??−1

√??+1൫√??+1+2൯+ 1

√??+1+2൰× √??+1+1

√??+1−1

??= ??−1+√??+1

√??+1൫√??+1+2൯× √??+1+1

√??+1−1

Đặt ??= √??+ 1, khi đó biểu thức trở thành:

??= ??2−2+??

??(??+2) × ??+1

??−1 = (??2+??−2)(??+1)

??(??−1)(??+2)

Ta có: ??2 + ??−2 = ??2 −??+ 2??−2 = ??(??−1) + 2(??−1) = (??−1)(??+ 2) Khi đó biểu thức trở thành:

??= (??−1)(??+1)(??+2)

??(??−1)(??+2) = ??+1

?? = √??+1+1

√??+1 (đpcm)

c) Ta có ??= √??+1+1

√??+1 = 1 + 1

√??+1

Để ?? có giá trị nguyên thì 1 + 1

√??+1 sẽ có giá trị nguyên, mà 1 đã là số nguyên nên do đó

1

√??+1 cũng sẽ là số nguyên hay 1 chia hết cho √??+ 1.

Điều này tương đương với √??+ 1 thược ước của 1. Hay √??+ 1 ∈ {±1} mà √??+ 1 > 0 nên √??+ 1 = 1, suy ra: ??+ 1 = 1 hay ??= 0. Nhưng để ?? xác định thì ?? phải thỏa mãn ??> −1 và ??≠0. Do đó không có giá trị nguyên nào xủa ?? thỏa mãn để ?? là số nguyên.

Câu 2: (3.00 điểm) Cho

⎩ ⎪⎨

⎪⎧??= ??+ 1 ?? ??= ??+ 1 ??

??= ????+ 1 ????

và biểu thức ??= ??2 + ??2 + ??2 −??????

Chứng minh rằng với mọi giá trị của ??, ?? thì biểu thức ?? không phụ thuộc vào biến ??, ??.

Bài giải:

Ta có: ??= ??+ 1 ?? , suy ra ??2 = ??2 + 1

??2 + 2?? 1

??= ??2 + 1

??2 + 2

??= ??+ 1 ?? , suy ra ??2 = ??2 + 1

??2 + 2?? 1

??= ??2 + 1

??2 + 2

??= ????+ 1 ???? , suy ra ??2 = ????2 + 1

(????)2 + 2????

1

(????) = (????)2 + 1

(????)2 + 2

??????= ቀ??+ 1 ??ቁቀ??+ 1 ??ቁቀ????+ 1 ????ቁ = ቀ????+ 1 ????+ ?? ??+ ?? ??ቁቀ????+ 1 ????ቁ

= (????)2 + 1

(????)2 + ??2 + 1

??2 + ??2 + 1

??2 + 2

Do đó: ??= ??2 + ??2 + ??2 −??????

??= ??2 + 1

??2 + 2 + ??2 + …