Đề khảo sát HSG Toán 8 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Tiền Hải - Thái Bình

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2024 - 2025

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút. (Đề khảo sát gồm 1 trang) Bài 1(5,0 điểm).

1) Phân tích đa thức 2 2 x 4xy 4y 2x 4y − + + − thành nhân tử.

2) Cho biểu thức ( )( ) x 2 5 1 P x 3 x 3 x 2 x 2 + = − − + + − − với x 2,x 3 ≠ ≠−.

Rút gọn P và tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

3) Cho hai số a,b thỏa mãn 3 2 a 3a 5a 2025 0 − + − = và 3 2 b 3b 5b 2019 0 − + + = .

Tính a b + . Bài 2(4,0 điểm). 1) Tìm x biết ( )( )( )( ) x 7 x 5 x 4 x 2 72 − − − − = .

2) Bác Tâm gửi ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 8%/năm. Hỏi sau 2 năm tổng số tiền bác Tâm thu về là bao nhiêu? (Số tiền gửi của năm thứ hai bằng tổng số tiền gửi và lãi của năm thứ nhất).

Bài 3(4,0 điểm).

1) Tìm dư của đa thức f(x) khi chia cho đa thức 2 x x 2 + − , biết rằng f(x) chia cho x – 1 dư 2 và f(x) chia cho x + 2 dư 3. 2) Cho hai số nguyên x, y thỏa mãn 2 2 x y 1 2(xy x y) + + = + + . Chứng minh rằng x và y là

hai số chính phương liên tiếp. Bài 4(6,0 điểm). 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác AD ( ) D BC ∈ . Gọi E, F lần lượt là

hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC.

a) Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông và

2

2 BE AB CF AC = .

b) Cho AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AD. 2) Cho tứ giác ABCD (AC > CD). Lấy điểm M, P theo thứ tự trên đoạn thẳng AB, AC sao

cho AM CP AB CD = . Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = CD. Chứng minh rằng khi M di động

trên AB và P di động trên AC thỏa mãn giả thiết bài toán thì trung điểm I của đoạn thẳng MP luôn chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 5(1,0 điểm). Cho 19 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong tam giác đều có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong 19 điểm

đã cho có diện tích nhỏ hơn 1 9 .

……….Hết………. Họ và tên thí sinh :………………………………………Số báo danh:………………… Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8 I. Hướng dẫn chung

1. Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải. Nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 2. Bài làm của thí sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. 3. Bài hình học, thí sinh vẽ hình đúng ý nào thì chấm điểm ý đó, thí sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì cho 0 điểm bài hình đó. 4. Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh mà công nhận ý trên (hoặc làm ý trên không đúng) để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì cho 0 điểm điểm ý đó. 5. Điểm của bài thi là tổng điểm các Bài làm đúng và tuyệt đối không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm

HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1(5,0 điểm).

1) Phân tích đa thức 2 2 x 4xy 4y 2x 4y − + + − thành nhân tử.

2) Cho biểu thức ( )( ) x 2 5 1 P x 3 x 3 x 2 x 2 + = − − + + − − với x 2,x 3 ≠ ≠−.

Rút gọn P và tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

3) Cho hai số a,b thỏa mãn 3 2 a 3a 5a 2025 0 − + − = và 3 2 b 3b 5b 2019 0 − + + = .

Tính a b + . 1) 1,5đ

Ta có:

( ) 2 2 2 x 4xy 4y 2x 4y x 2y 2(x 2y) − + + − = − + − 0,75

(x 2y)(x 2y 2) = − − + 0,75

2) 2,5đ

Với x 2,x 3 ≠ ≠−ta có:

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

x 2 x 2 5 x 3 x 2 5 1 P x 3 x 3 x 2 x 2 x 3 x 2 + − − − + + = − − = + + − − + − 0,5

( )( ) ( )( )

2 2 x 4 5 x 3 x x 12 x 3 x 2 x 3 x 2 − − − − − − = = + − + − 0,5

( )( ) ( )( )

x 4 x 3 x 4 x 3 x 2 x 2 − + − = = + − − 0,25

Vậy với x 2,x 3 ≠ ≠− thì x 4 P x 2 − = − 0,25

Với x 2,x 3 ≠ ≠−, ta có 2 P 1 x 2 = − − 0,25

Do x nguyên nên P nguyên khi 2 x 2 − nguyên suy ra 2 x 2 −  ,

suy ra { } x 2 1; 2 −∈± ±

0,25

Từ đó tìm được { } x 0;1;3;4 ∈

0,25

Kết hợp với điều kiện, ta có { } x 0;1;3;4 ∈ thì P nguyên. 0,25