Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2024 - 2025 cụm chuyên môn số 1 Nga Sơn - Thanh Hóa

CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 1 THCS: AN - ĐIỀN - PHÚ - THÁI

(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM

Năm học: 2024 - 2025

Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 28 tháng 12 năm 2024

Câu I. (4 điểm)

1) Thu gọn biểu thức: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 5 6 7 12 9 20 P x x x x x x x x x x = + + + + − − + − + − + − +

(với 0; 1; 2; 3; 4; 5 x x x x x x ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ). Tìm các giá trị của x nguyên để .x P đạt giá trị nguyên.

2) Các số ; ; x y z khác 0 thỏa mãn 1 x y z + + = và 2 x y y z z x y x z y x z       + + + + + = −            

.

Tính giá trị của biểu thức: 2023 2023 2023 P x y z = + + . Câu II. (4 điểm)

1) Tìm x , biết: 2 2 2 5 2 2 3 5 4 2 8 2 x x x x x x + + − = + + + − (với 4; 1; 2 x x x ≠− ≠− ≠ )

2) Cho đa thức ( ) 3 2 f x ax bx cx d = + + + . Tìm a, b, c, d biết rằng khi chia đa thức ( ) f x lần lượt cho các đa thức 1; 2; 3 x x x − − − đều có số dư là 6 và tại 1 x = thì đa thức ( ) f x đó nhận giá trị bằng 18 − . Câu III. (4 điểm)

1) Tìm các số tự nhiên n để ( ) 2 2 36 8 n − + là số nguyên tố.

2) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn ( ) ( ) 3 3 3 3 5 13 a b c d + = + .

Chứng minh rằng: a b c d + + + chia hết cho 6 Câu IV. (6 điểm) Cho hình vuông ABCD. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của AB và CD; O là giao điểm của AK và DE. Kẻ DM vuông góc với CE tại M. 1) Chứng minh rằng tam giác AKM vuông. 2) Gọi N là giao điểm của AK và BM. Chứng minh ADM ∆ cân và tính  ANB . 3) Tia phân giác của  DCE cắt AD tại F. Chứng minh rằng: 2 CF EF ≤ . Câu V. (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab bc ca abc + + = .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a b c bc a ca b ab c + + + + + .

.................................. Hết .....................................

Họ tên học sinh: .................................................; Số báo danh: ....................................

Đề chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: TOÁN 8 Câu Nội dung cần đạt Điểm

Câu I 4 điểm

1) Với 0; 1; 2; 3; 4; 5 x x x x x x ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ . Ta có:

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 5 6 7 12 9 20 P x x x x x x x x x x = + + + + − − + − + − + − +

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 x x x x x x x x x x = + + + + − − − − − − − − −

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 5 4 x x x x x x x x x x = − + − + − + − + − − − − − − − − − −

( ) 1 1 5 5 5 x x x x = − = − −

Ta có ( ) 5 5 . . 5 5 x P x x x x = = − −

Nên .x P đạt giá trị nguyên khi 5 x − là ước của 5.

Khi đó: { } 5 1;1;5; 5 x −∈− − nên { } 4;6;10;0 x∈

Kết hợp với đề bài 0; 1; 2; 3; 4; 5 x x x x x x ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ta được:

{ } 6;10 x∈ thì .x P nguyên.

0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

2) 2 x y y z z x y x z y x z       + + + + + = −            

1 1 1 1 1 1 2 x y z y z z x x y       + + + + + = −            

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z y z z x x y

            + + + + + + + + =                        

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z y z x z x y x y z       + + + + + + + + + =            

( ) 1 1 1 1 x y z x y z   + + + + =    

1 1 1 1 x y z x y z + + = + +

1 1 1 1 y z x y z x + = − + +

( ) ( )

x x y z y z yz x x y z − + + + = + +

( ) ( )

y z y z yz x x y z − + + = + +

0,25 điểm 0,25 điểm