Đề khảo sát HSG Toán 8 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Kim Thành - Hải Dương

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN KIM THÀNH

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2024-2025 Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian phát đề) (Đề khảo sát gồm có 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm)

1) Cho biểu thức: 2 2 1 1 . 1 : 3 1 3 x x A x x x x x   + −   = − − −     +    

(với 0; 1; 1 x x x ≠ ≠− ≠)

Rút gọn A và tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

2) Tìm đa thức ( ) f x biết: ( ) f x chia cho x - 3 dư 2, ( ) f x chia cho x + 4 dư 9,

và ( ) 2 : 12 + − f x x x được thương là 2 3 + x và còn dư

Câu 2 (2,0 điểm).

1) Giải phương trình : 2 2 2 1 1 1 1 9 20 11 30 13 42 18 x x x x x x + + = + + + + + +

2) Giải hệ phương trình

       

1 0

3 2 22

x y xy

x y

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Tìm các cặp số (x; y) thỏa mãn x, y∈ và

2 2 6 5 8 3 7 0 x y xy x y + + − − + =

2) Cho ; ; x y z là các số nguyên và ( ) ( ) ( )

5 5 5 2023 2 2024 3 2025

2 3 2024

P x y z

S x y z

 = + + − + +  = + + + 

Chứng minh rằng P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho30 . Câu 4 ( 3,0 điểm).

1) Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:

 tan 2 ABC AC AB BC = +

2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại

H .

a) Chứng minh tam giácAEF đồng dạng với tam giác ABC . b) Gọi O là trung điểm của , BC I là trung điểm của AH . Giao điểm EF và

OI cắt nhau tại K . Chứng minh rằng :

2 4 . AH IK IO = Câu 5 (1,0 điểm)

Xét hai số thực , a bsao cho 1 2; 1 2 a b ≤ ≤ ≤ ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

2 2 2 2 4 2 4 2 A a b b a a b b a    = + + + + + +      

.

-------------HẾT------------

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN KIM THÀNH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2024-2025 (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

1

1

2 2 1 1 . 1 : 3 1 3 x x A x x x x x   + −   = − − −     +    

2 2 ( 1) 3 ( 1) 1 . : 3 1 3 x x x x A x x x x + − + −   = −   +  

2 2(1 3 ) . 3 3 1 x x A x x x −   = −   −  

0,25

2 2. 1 1 x x A x x = = − − 0,25

+ Với 0; 1 x x ≠ ≠± . Ta có 2 2 2 1 1 x A x x = = + − −

+ Để A Z ∈ thì (x - 1) phải là ước của 2 suy ra { } 1 1; 2 x −∈± ±

0,25

+ Xét từng trường hợp tìm x + Đối chiếu điều kiện tìm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa mãn và kết luận 0,25

2

Do ( ) f x chia cho ( )( ) 2 12 3 4 + − = − + x x x x được thương là 2 3 + x còn

dư nên ta có : ( ) ( )( )( ) 2 4 3 3 . = + − + + + f x x x x a x b

0,25

Cho ( ) 4 4 9 = −⇒ = − + = x f x a b

Cho ( ) 3 3 2 = ⇒ = + = x f x a b 0,25

Khi đó ta có hệ:

4 9 7 7 1 1

3 2 3 2 3.( 1) 2 5

− + = − = = − = −     ⇔ ⇔ ⇔     + = + = − + = =    

a b a a a

a b a b b b 0,25

( ) ( )( )( )

( )( )

2

2 2

4 3 2

4 3 3 5

12 3 5

9 2 31

f x x x x x

x x x x

x x x x

= + − + − +

= + − + − +

= + − + −

0,25

Câu 2

1

1) 2 2 2 1 1 1 1 9 20 11 30 13 42 18 x x x x x x + + = + + + + + +

1 1 1 1 ( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7) 18 x x x x x x + + = + + + + + +

ĐK : x ≠-4 ;x ≠-5 ;x ≠-6 ;x ≠-7

0,25

( 2

điểm)

1 1 1 1 1 1 1 ( 4) ( 5) ( 5) ( 6) ( 6) ( 7) 18 x x x x x x − + − + − = + + + + + +

1 1 1 4 7 18 x x − = + +

0,25

2 11 26 0 x x + − =

( )( ) 13 2 0 x x + − =

0,25

x = -13 (t/m) ; x = 2 (t/m) Vậy phương trình có các nghiệm 1 2 13; 2 x x = − = .

0.25

2

       

1 0

3 2 22

x y xy

x y

Viết được thành           

1 1 0

3 2 22

x y

x y

0.25

     

1 0 3 2 22 x x y hoặc

1 0

3 2 22

y

x y

     

0.25

1/

     

1 0 3 2 22 x x y giải được

  

1

12,5

x

y

0.25

2/

     

1 0 3 2 22 y x y giải được

  

1

20 3

y

x

0.25

Câu 3

( 2 điểm)

1

Ta có:

2 2 6 5 8 3 7 0 x y xy x y + + − − + =

0,25

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 3 2 2 1 0

2 2 2 2 3 5 0

2 2 3 1 5

x y x x y

x y x y x

x y x y

+ + − + − + =

+ − + + + − + =

+ − + − = −

0,25

TH1: ( ) 2 2 5 5 3 1 1 13 x y x TM x y y + − = − =   ⇔   + −= = −  

TH2: ( ) 2 2 1 7 3 1 5 17 x y x TM x y y + − = = −   ⇔   + −= − =  …