Đề khảo sát HSG Toán 8 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Ninh Giang - Hải Dương

UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học: 2024-2025

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1: (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử:

5 3 n 5n 4n − +

2) Rút gọn biểu thức 2 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A x x x x − + + = − − − + − − với 2; 3. x x ≠ ≠

Câu 2: (2,0 điểm)

1) Cho đa thức f(x) = x2 + ax + b. Tìm các hệ số a, b biết đa thức f(x) có nghiệm bằng 2 và f(x) chia hết cho đa thức 2x – 3.

2) Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2 3 2 1 3 8 16 x x x − + + = −

Câu 3: (2,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên (x;y) thỏa mãn 2 2 5 6 2 2 0 x xy y x y + + + + − =

2) Cho , , , a b c d là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 2. a b c d = + + Chứng minh 2025 abcd + viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương. Câu 4. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ΔAEF đồng dạng với ΔABC b) Chứng minh AH.AE + CH.CF = AC2

c) Chứng minh ( )

2

2 2 2 AB+AC+BC 4 AD +BE +CF ≥

Câu 5. (1,0 điểm)

1) Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2 , chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10).

2) Xét ,x y là hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện . 1 x y = . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức ( ) ( )( )

3 3

4 2 2 4 2 x y A x y x y

+ = + +

.

-----------------Hết----------------

UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học: 2024-2025

MÔN: TOÁN 8

Câu Ý Đáp án Điểm

Câu 1

(2 điểm)

1 (1 điểm)

Ta có:

( ) 5 3 4 2 n 5n 4n n n 5n 4 − + = − +

0,25

( ) 4 2 n n 5n 4 = − + 0,25

(n 2)(n 1)n(n 1)(n 2) = − − + + 0,25

(n 2)(n 1)n(n 1)(n 2) = − − + + 0,25

2 (1 điểm)

+) Với 2; 3 x x ≠ ≠ ta có:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 9 3 3 2 1 2 2 9 3 2 1 5 6 2 3 3 2 x x x x x x x x A x x x x x x − − + − + + − − + + = − − = − + − − − −

0,25

( )( )

2 2 2 9 9 2 3 2 3 2 x x x x x x −− + + − − = − − 0,25

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 3 2

1 2 1 3 2 3

x x x x

x x x x x x

− − = − −

+ − + = = − − −

0,25

0,25

Vậy với 2; 3 x x ≠ ≠ thì 1 3 x A x + = −

Câu 2 (3 điểm)

1 (1 điểm)

+) Từ đề bài ta suy ra được f(2) = 0 => 9+ 2a + b = 0 (1)

+) ( ) ( ) 2 2 4 2 3 0 3 3 9 f x x f a b   − ⇒ = + + =      hay 6 9 4 a b + = − (2)

Từ 1, 2 tìm được 50 23 ; 3 6 a b = − =

Kết luận cho bài toán

0,25 0,25 0,25

0,25 2 (1 điểm)

Ta có ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 3 2 1 3 8 16 3 2 3 3 3 8 144 x x x x x x − + + = − ⇔ − + + = −

Đặt 3 3 3 2 5;3 8 5 x t x t x t + = ⇒ − = − + = + .

Ta có Phương trình ( ) ( ) 2 5 5 144 t t t − + = −

( )( )

2 4 2 2 2

2 9 3 25 144 0 9 16 0 4 16

t t t t t t t t

 = = ±  ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ ⇔  = ± =   

2

2 9 3 4 16

t t t t

 = = ±  ⇔ ⇔  = ± =   

0,25

0.25

0,25

Xét các trường hợp của t ta tìm được x=0 ; x= 2 −; x= 1 3 ; x= 7 3 −

Vậy phương trình có tập nghiệm là 1 7 0; 2; ; 3 3 S −   = −    

0,25

Câu 3

(2 điểm)

1 (1 điểm)

Ta có: 2 2 5 6 2 2 0 ( 2 )( 3 ) 2 2 0 x xy y x y x y x y x y + + + + − = ⇔ + + + + − =

( 2 )( 3 1) 2 x y x y ⇔ + + + =

Do x, y nguyên nên ta có bảng các trường hợp sau:

x+2y 1 2 -1 -2

x+3y+1 2 1 -2 -1

x 1 6 3 -2

y 0 -2 -2 0

Vậy các cặp (x,y) thỏa mãn là: (1;0); (6;-2);(3;-2);(-2;0)

0,25 0,25

0,25

0,25 2 (1 điểm)

Ta có: ( ) 2 2 2 1 4 4 1 4 ( 1) 1 m m m m m + = + + = + + .

Do đó ta có ( ) 2 2 1 m + là số chính phương lẻ chia 8 luôn dư 1.

Nếu , , , a b c d đều lẻ thì 2 2 2 2 , , , a b c d chia 8 đều dư 1 dẫn đến không xảy ra 2 2 2 2 a b c d = + + (vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3) Vậy trong các số , , , a b c d phải có ít nhất một số chẵn nên abcd chẵn ⇒ 2023 abcd + lẻ.

Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 2023 2 1 1 1 1 abcd k k k k k k k + = + = + − + + = + −      

Với ( ) k ∈

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 4

(3 điểm)

Vẽ hình (0,25 điểm)

0,25

a) (0,75 điểm

Xét AEB ∆ và AFC ∆ có   0 AEB AFC 90 = = Góc A chung

AEB AFC (g g) ⇒∆ ∆ − 

0,25

j K H

M

F E

D

x

C B

A