Đề thi HSG Toán 8 vòng 2 năm 2024 - 2025 trường THCS Cao Xuân Huy - Nghệ An

TRƯỜNG THCS CAO XUÂN HUY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG 2, NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn: Toán – Lớp 8. Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (4,0 điểm) a) Cho các số thực a, b thỏa mãn:

2 2 1 0 a b ab a b + + − + + = . Tính giá trị biểu thức: 3 4 M 7a 2b – +2022 = . b) Cho các số nguyên dương a, b, c thoả mãn 2 2 2 a b c + = . Chứng minh rằng ab chia hết cho a + b + c. Câu 2. (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ) ;p q thỏa mãn 2 2 5 4 p q − = .

b) Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 2 6 2 1 1 x x x x + + − + = +

Câu 3. (4,0 điểm) a) Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng khu nuôi cá riêng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12m (hình vẽ bên). b) Bác Xuân vay 20.000.000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác Xuân phải trả là 23.540.000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm đầu? Biết rằng trong năm sau ngân hàng đã giảm 30% lãi suất. Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: AD.HD = BD.CD b) Chứng minh: H là giao điểm của các đường phân giác của tam giác DEF. c) Gọi M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: HP = HQ. Câu 5. (1,0 điểm) Cho một đa giác đều có 2025 đỉnh. Tô màu các đỉnh của đa giác bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn tồn tại ba đỉnh của đa giác được tô cùng màu và tạo thành một tam giác cân.

……….Hết………. Họ và tên thí sinh :…………………….…………………………Số báo danh:…………………

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Đáp án Điểm

Câu 1. (4,0 điểm) a) Cho các số thực a, b thỏa mãn: 2 2 1 0 a b ab a b + + − + + = . Tính giá trị của biểu thức: 3 4 M 7a 2b – +2022 = . b) Cho các số nguyên dương a, b, c thoả mãn 2 2 2 a b c + = . Chứng minh rằng ab chia hết

cho a + b + c.

a 2,0đ

Ta có 2 2 a b ab a b 1 0 + + − + + = ⇔ 2 2 2a 2b 2ab 2a 2b 2 0 + + − + + = ⇔ 2 2 2 2 (a 2ab b ) (a 2a 1) (b 2b 1) 0 + + + − + + + + =

2 2 2 (a b) (a 1) (b 1) 0 ⇔ + + − + + =

2

2

2

(a b) 0 a b a 1 (a 1) 0 a 1 b 1 (b 1) 0 b 1

 + = = −  =    ⇔ − = ⇔ = ⇔   = −    + = = −  

Thay a 1

b 1

=  = − 

vào 3 4 M 7a 2b – +2022 = ta được 3 4 M 7.1 2( 1) 2022 2027 = − − + =

Vậy giá trị của biểu thức M = 2027.

0,5

0,5

1,0

b 2,0đ

Từ a2 + b2 = c2 ⇒ (a + b)2 – c2 = 2ab ⇒ (a + b + c)(a + b – c) = 2ab (*) TH1: a + b + c lẻ thì từ (*) suy ra 2ab ⁝ (a + b + c) ⇒ ab ⁝ (a + b + c) vì (2, a + b + c) = 1 TH2: a + b + c chẵn Vì a + b + c, a + b – c cùng tính chẵn lẻ nên a + b – c chẵn. Đặt a + b – c = 2k (k ∈ N*) Từ (*) suy ra ab = k(a + b + c) ⇒ ab ⁝ (a + b + c) Vậy ta luôn có ab ⁝ (a + b + c)

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2. (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ) ;p q thỏa mãn 2 2 5 4 p q − = .

b) Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 2 6 2 1 1 x x x x + + − + = +

a 2,0đ

( )( ) 2 2 2 2 2 5 4 4 5 2 2 5 p q p q p p q − = ⇔ − = ⇔ − + = Do 0 2 2 p p < − < + và q nguyên tố nên 2 p − chỉ có thể nhận các giá trị

2 1, 5, ,q q Ta có bảng giá trị tương ứng

p – 2 p + 2 p q 1 2 5q 3 1 5 2 q 7 3 q 5q 3 1

2 q 5 3 1

Do p, q là các số nguyên tố nên chỉ có cặp ( ) ( ) ; 7;3 p q = thỏa mãn.

0,5

0,5

0,5

0,5

b 2,0đ

Ta có: a3 + b3 + c3 – (a + b + c)3 = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – (a + b + c)3 = (a + b + c)3 – 3c(a + b)(a + b + c) – 3ab(a + b) – (a + b + c)3

0,5