Đề thi Olympic Toán 8 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Thanh Oai - Hà Nội

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH OAI

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI OLYMPIC LỚP 6, 7, 8

Năm học 2024 - 2025 Môn: Toán – Lớp: 8

Ngày thi: 08 tháng 4 năm 2024

Thời gian làm bài: 150 phút Bài I (5 điểm)

1) Cho biểu thức 17 8 4 2 1 ( 2)( 5) 2 5 x x x A x x x x − + = + − + − + −

với 2, 5 x x − 

a) Chứng minh 2 2 2 x A x

+ = +

b) Tính giá trị của A khi 5 x =

c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. 2) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số không vượt quá 50. Tính xác suất của

biến cố A: “Số tự nhiên được viết ra là số chính phương”. Bài II (4 điểm)

1) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn

2 2 7 12 3 1 0 x xy y x y − + + − −=

2) Tìm các số tự nhiên ,x y sao cho: 2 3 1 5y x x − + = .

Bài III (4 điểm)

1) Cho các số thực a, b thỏa mãn: 2 2 2 5 4 4 2 5 0 a b ab a b + + − + + = . Tính giá trị của biểu

thức 4 3 2 5 1 A a b = − −.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 ( 3 ) ( ) A a a b b b a = + + − biết 2. a b + =

Bài IV (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC  , đường cao AH (H thuộc BC). Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho AB BD = . Kéo dài AH cắt CD tại I. Kẻ đường thẳng vuông góc với CD tại I, đường thẳng này cắt AD tại K.

a) Chứng minh 2 . AB BH BC = và = BD BC BH BD .

b) Chứng minh △HDB đồng dạng với △DBC và tam giác KHD vuông. c) Gọi E là điểm đối xứng với A qua H. Kẻ đường thẳng từ K song song với AC, cắt DE tại N. Chứng minh: . . KA KD KH KC = và CN vuông góc với CD Bài V (1 điểm) Chia 2024 số 1;2;...;2024 thành 1012 nhóm 1 1 2 2 1012 1012 ( , ),( , ),..,( , ) a b a b a b sao cho với mọi

1,2,...,1012 i = thì | | i i a b − nhận một trong hai giá trị là 1 hoặc 6. Chứng minh tổng

1 1 2 2 1012 1012 | | | | ... | | S a b a b a b = − + − + + − có chữ số tận cùng là 2.

-HẾT- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Học sinh không sử dụng máy tính. Họ tên thí sinh: ……………………………………………... Số báo danh: …....……......

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 Bài I (5 điểm) 1a)

2 2

2

17x 8 4x 2x 1 A (x 2)(x 5) x 2 x 5 17x 8 4x(x 5) (2x 1)(x 2) (x 2)(x 5) (x 2)(x 5) (x 2)(x 5)

17x 8 4x 20x 2x 5x 2 (x 2)(x 5)

2x 8x 10 2(x 5)(x 1) 2(x 1) (x 2)(x 5) (x 2)(x 5) (x 2)

− + = + − + − + − − − + + = + − + − + − + −

− + − − − − = + −

− − − + + = = = + − + − +

Vậy 2x 2 A x 2 + = +

1 ,5 điểm

b) Với | x | 5 = , tìm được x = -5 (TMĐK), x = 5 (loại)

Thay x = -5 vào A tìm được A= 8/3

1 điểm

c) 2x 2 2(x 2) 2 2 A 2 x 2 x 2 x 2 + + − = = = − + + +

Do x là số nguyên nên để A nguyên thì x 2 + thuộc Ư(2)={ 1, 2} 

x+2 -2 2 -1 1 x -4 0 -3 -1 TMĐK TMĐK TMĐK TMĐK Vậy các giá trị của x thỏa mãn đề bài là {-4,-3,-1,0}

1 điểm

2) Các số tự nhiên có 2 chữ số không vượt quá 50 là: 10; 11; 12;...;50: có 41 số 0,5 điểm Các số chính phương nằm trong dãy số trên là: 16; 25; 36; 49: có 4 số 0,5 điểm

Xác suất của biến cố A là: 4

41

0,5 điểm

Bài II (4 điểm) 1)

2 2 7 12 3 1 0

( 3 )( 4 ) ( 3 ) 1

( 4 1)( 3 ) 1

− + + − −=

− − + − =

− + − =

x xy y x y

x y x y x y

x y x y

1,25 điểm

Do x, y nguyên nên ta có bảng các trường hợp sau:

x-3y 1 -1 x-4y+1 1 -1 x 4 2 y 1 1 Vậy các cặp (x,y) thỏa mãn là: (4;1); (2;1)

0,5 điểm

0,25 điểm