Đề khảo sát HSG vòng 6 Toán 7 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Đông Hưng - Thái Bình

UBND HUYỆN ĐÔNG HƯNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI VÒNG VI

NĂM HỌC 2024 - 2025

MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (3,0 điểm).

1. Thực hiện phép tính: A = 2 3 193 33 7 11 1931 9 . : . 193 386 17 34 1931 3862 25 2                      − + + +

2. Tìm số tự nhiên x biết: x x 2 8 10 3 5 3 5 .4 .4 .4 .4 2 3 2 3 + + = +

Bài 2 (5,0 điểm).

1. Cho hai đa thức: ( ) 2 2 x 9x 6 3x 2x ; P x = − + + −

( ) 2 2 Q x 5x 3x 7x 2 1. x = − − + + −+

a) Tính H(x) = P(x) + Q(x).

b) Chứng minh rằng đa thức H(x) không có nghiệm trên tập số thực.

2. Một tam giác có độ dài ba đường cao lần lượt là: 9cm, 25cm, x cm. Tìm x biết x là số chính phương và có đơn vị đo là centimets. Bài 3 (4,0 điểm).

1. Tìm x, y, z biết: ( )

10 2 2 7x 5y x y 4736 x y z 0 − + + − + + + = (với x + y + z ≥ 0).

2. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: 2 2 2 x yz; y xz; z xy. = = = Chứng minh rằng x = y = z.

Bài 4 (6,5 điểm).

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. AM là tia phân giác của góc BAH, AN là tia phân giác của góc CAH (M, N thuộc BC). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AH.

a) Chứng minh: MD vuông góc với AB.

b) Chứng minh: BA = BN.

c) Chứng minh: MN = AB + AC BC − .

d) Kẻ BK vuông góc với AN tại K, CI vuông góc với AM tại I, BK cắt CI tại O. Chứng minh tam giác OMN vuông cân.

Bài 5 (1,5 điểm).

Tìm các số nguyên tố p, q và số nguyên x thỏa mãn: 5 x px 3q 0. + + =

…….Hết…….

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài ý Hướng dẫn Điểm

1 (3đ)

1.Thực hiện phép tính.

A = 2 3 193 33 7 11 1931 9 . : . 193 386 17 34 1931 3862 25 2        − + + +              

2. Tìm x biết:

x x 2 8 10 3 5 3 5 .4 .4 .4 .4 2 3 2 3

+ + = +

1 (1,5đ)

A = 2 3 193 33 7 11 1931 9 . : . 193 386 17 34 1931 3862 25 2        − + + +              

A = 1 193 33 25 1931 9 . : . 386 17 34 3862 25 2    + +      

= 1: 5 = 1 5

Vậy A = 1 5

1,25

0,25

2 (1,5đ)

x x 2 8 10 3 5 3 5 .4 .4 .4 .4 2 3 2 3

+ + = +

x 2 8 2 3 5 3 5 4 . .4 4 . .4 2 3 2 3     + = +         4x = 48. x = 8 (thoả mãn) Vậy x = 8

0,75

0,5

0,25

2 (5đ)

1. Cho các đa thức: P(x) = (x – 3)(x – 2) – x(2x + 1);

Q(x) = (x – 2)(x +1) + x(x + 3) a) Tính H(x) = P(x) + Q(x). b) Chứng minh rằng đa thức H(x) không có nghiệm trên tập số thực. 2. Một tam giác có độ dài ba đường cao lần lượt là: 9; 25; x. Tìm x biết độ dài ba đường cao đó đều là số chính phương và có đơn vị đo là centimets.

1.a (2đ)

P(x) = x2 - 9x + 6 + 3x - 2x2 = - x2 - 6x + 6 Q(x) = - x2 - 5x + 3x2 + 7x - 2 + 1 = 2x2 + 2x – 1 H(x) = P(x) + Q(x) = x2 – 4x + 5 Vậy H(x) = x2 – 4x + 5

0,5 0,5 0,75

0,25

1.b (1đ)

H(x) = (x – 2)2 + 1 = (x – 2)2 + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x ∈ R Vậy H(x) không có nghiệm trên tập số thực

0,5 0,5

2 (2đ)

Gọi độ dài các cạnh của tam giác đó lần lượt là a; b; c (cm) (a, b, c > 0, giả sử a, b, c tương ứng với các chiều cao 9; 25; x (x là số chính phương) Theo bài ra ta có: 9a = 25b = cx = 2S ( S diện tích tam giác)

a = 2S 9 ; b = 2S 25 ; c = 2S x

Ta có a – b < c < a + b Chứng minh được 1800 < 272x < 3825

0,25

0,75