Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2025 - 2026 sở GDĐT Cần Thơ

Lời giải tham khảo các bài toán trong đềthi chọn ĐTQG Thành phốCần Thơ năm 2025 - 2026

SMFE - Simple Math for Everyone

Bàn luận toán học số12 - Ngày 23 tháng 8 năm 2025

1 Đềbài

Bài toán 1. (3,0 điểm) Cho a, b, c là các sốthực dương thoảmãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

P = a2

1 + 2bc + b2

1 + 2ac + c2

1 + 2ab.

Bài toán 2. (3,0 điểm) Cho dãy số(un) xác định bởi   

 

u1 = 1

2

un+1 =

r

1 + un

2 , ∀n ∈N∗ .

(a) Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

(b) Tính giá trịcủa tích vô hạn ∞ Y

n=1 un = u1u2u3 . . . .

Bài toán 3. (3,0 điểm) Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thoảmãn đồng thời các điều kiện sau

i. f(0) ̸= −1.

ii. f(x2 + 2f(y)) = 2y + f 2(x), ∀x, y ∈R.

Bài toán 4. (3,0 điểm) Với mỗi sốnguyên dương n, đặt

un = (4 − √

15)n + (4 + √

15)n.

Chứng minh rằng với mọi sốnguyên dương n thì un chia hết cho 2 và

A = u2 1 + u2 2 + · · · + u2 2025

chia hết cho 8.

Bài toán 5. (3,0 điểm) Cho 21 ô vuông được xếp thành hàng dọc liên tiếp nhau. Người ta tô một trong hai màu đen hoặc trắng cho mỗi ô vuông sao cho

1

SMFE - Simple Math for Everyone Bàn luận toán học số12

i. Không tô đen 2 ô liên tiếp nhau.

ii. Không tô trắng quá 2 ô liên tiếp nhau.

Có bao nhiêu cách tô thoảmãn đồng thời các điều kiện trên.

Bài toán 6. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC tại D. Đường thẳng qua D vuông góc với IA, cắt IB, IC lần lượt tại P, Q.

(a) Chứng minh bốn điểm B, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn (ω).

(b) Gọi K là tâm đường tròn (ω). Chứng minh ba điểm A, K, D thẳng hàng.

2

SMFE - Simple Math for Everyone Bàn luận toán học số12

2 Lời giải

Bài toán 1. (3,0 điểm) Cho a, b, c là các sốthực dương thoảmãn a2 +b2 +c2 = 1. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

P = a2

1 + 2bc + b2

1 + 2ac + c2

1 + 2ab.

LỜI GIẢI

Áp dụng bất đằng thức Cauchy - Schwarz, ta được

P = X a2

1 + 2bc = X a4

a2 + 2a2bc ⩾ (a2 + b2 + c2)2

a2 + b2 + c2 + 2abc(a + b + c).

Mặt khác, ta lại có

1 = (a2 + b2 + c2)2 ⩾3(ab2 + bc2 + ca2) ⩾3abc(a + b + c) =⇒abc(a + b + c) ⩽1

3.

Do đó P ⩾3

5. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b = c =

√

3 3 .

Bài toán 2. (3,0 điểm) Cho dãy số(un) xác định bởi   

 

u1 = 1

2

un+1 =

r

1 + un

2 , ∀n ∈N∗ .

(a) Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

(b) Tính giá trịcủa tích vô hạn

∞ Y

n=1 un = u1u2u3 . . . .

LỜI GIẢI

(a) Bằng quy nạp, dễdàng chỉra được 0 < un < 1 với mọi n. Mặt khác, ta xét

un+1 −un = 1 + un −2u2 n

2

r

1 + un

2 + un

! > 0, ∀n ∈N∗.

Do đó, dãy (un) tăng. Kết hợp với việc dãy bịchặn trên bởi 1, ta suy ra dãy (un) có giới hạn hữu hạn. Đặt lim un = L, chuyển qua giới hạn, ta được

L =

r

1 + L

2 ⇐⇒L = 1.

Vậy lim un = 1.

3

SMFE - Simple Math for Everyone Bàn luận toán học số12

(b) Ta có u1 = 1

2 = cos π

3 và

u2 =

v u u t1 + cos π

3 2 = cos π 2 · 3.

Ta sẽchứng minh un = cos π 3 · 2n−1 bằng quy nạp. Thật vậy, giảsửuk == cos π 3 · 2k−1.

Khi đó

uk+1 =

v u u t1 + cos π 3 · 2k−1 2 =

v u u t1 + 2 cos2 π 3 · 2k −1

2 = cos π 3 · 2k .

Vì vậy theo nguyên lí quy nạp, ta được un = cos π 3 · 2n−1 với mọi n. Như vậy ta được

n Y

i=1 ui =

n Y

i=1 cos π 3 · 2i−1

=

n Y

i=1 cos π 3 · 2i−1 · sin π 3 · 2n−1

sin π 3 · 2n−1

=

1 2

n−1 Y

i=1 cos π 3 · 2i−1 · sin π 3 · 2n−2

sin π 3 · 2n−1 = . . .

=

1 2n · sin π

3 sin π 3 · 2n−1 .

Khi đó, tích vô hạn ta cần tính có giá trịlà

∞ Y

n=1 un = u1u2u3 · · · = lim n→∞

n Y

i=1 ui = lim n→∞

1 2n · sin π

3 sin π 3 · 2n−1 ∼lim n→∞

1 2n · sin π

3 π 3 · 2n−1 = 3 sin π

3 2π = 3 √

3 4π .

Bài toán 3. (3,0 điểm) Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thoảmãn đồng thời các điều kiện sau

i. f(0) ̸= −1.

ii. f(x2 + 2f(y)) = 2y + f 2(x), ∀x, y ∈R.

LỜI GIẢI

Kí hiệu P(x, y) là phép thếx, y vào phương trình đềcho. Giảsửtồn tại hàm sốthoảmãn yêu cầu đềbài (x2 + 2f(y)) = 2y + f 2(x), ∀x, y ∈R. (1)

4