Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2025 - 2026 sở GDĐT Tuyên Quang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TUYÊN QUANG

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2025 – 2026 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 11/9/2025 (Đề này có 01 trang)

Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số   nx xác định bởi:

1 2

* 2 1

22 2, 23 . 23 22 , n n n

x x

x x x n  

         

a) Tính lim . nx

b) Đặt * 1 2 2 ... , . 2 2 2

n n n x x x y n      Chứng minh rằng dãy số   ny bị chặn.

Bài 2 (5,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số     : 0; 0; f   thỏa mãn

    2 ( ) ( ) ( ) ( ) ; x f x f y x y f yf x    với mọi   , 0; . x y 

Bài 3 (5,0 điểm). Với k là một số nguyên dương ta kí hiệu ( ) k  là tổng tất cả các ước nguyên dương của .k Chứng minh rằng:

a)     2025 1945

2025 1945 1 1

, 1 1

p p

p p

      

với mọi số nguyên tố ;p

b) ( ) ( ) ( ) , mn n m n n       với mọi * , . m n

Bài 4 (5,0 điểm). Trên mặt phẳng, cho 4 điểm phân biệt , , , A B C D trong đó không có 3

điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn ( )  đi qua 3 trong 4 điểm này và điểm còn lại thuộc miền trong của ( )  hoặc nằm trên ( ). 

-----Hết-----

Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay trong khi làm bài. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.................................................................Số báo danh:................

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TUYÊN QUANG

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2025 – 2026 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 12/9/2025 (Đề này có 01 trang)

Bài 5 (7,0 điểm). Cho đa thức ( ) P x có hệ số hữu tỉ, bậc bằng 2026 và có 2026 nghiệm thực

1 2 2026 ... x x x    lập thành một cấp số cộng với công sai 0. d  Chứng minh rằng:

a)     2 2 2 2 2 2027 1 1 2 2025 2 2027 , 2 i i x x x d i d           với mọi 1, 2,..., 2026; i 

b) 2 d là số hữu tỉ.

Bài 6 (7,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân và . AB AC  Các đường cao , BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại . H Gọi , M K lần lượt là trung điểm của BC và

; EF N là giao điểm của AM và ; EF P là hình chiếu vuông góc của N trên cạnh . BC

a) Chứng minh rằng ba điểm , , A K P thẳng hàng.

b) Đường tròn đường kính AP cắt lại các cạnh , AB AC lần lượt tại Q và . R Gọi , X Y lần

lượt là trung điểm của CQ và . BR Chứng minh rằng hai đường thẳng XY và HN vuông góc với nhau.

Bài 7 (6,0 điểm). Cho A là một tập con có 23 phần tử của tập   1; 2;...; 5335 . S  Đặt

 , . n A x n x A n S     Chứng minh rằng:

a) Với mọi , , i j S  tập i j A A  khác tập rỗng khi và chỉ khi   , ; i j B x y x y A     

b) Tồn tại 22 phần tử 1 2 22 , ,..., t t t phân biệt của S sao cho các tập

1 2 22 , ,..., t t t A A A đôi một

giao nhau bằng rỗng.

-----Hết-----

Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay trong khi làm bài. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.................................................................Số báo danh:................

ĐỀ CHÍNH THỨC