Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2025 - 2026 sở GDĐT Hà Tĩnh
Xem trước nội dung
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 1 trang - gồm 3 bài
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
NĂM HỌC 2025 - 2026
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi thứ hai: 11/09/2025
Bài 4. (6 điểm)
Cho tam giác ABC ( ) AB AC < nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, D là điểm
bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CM. Lấy E, F lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AD. Gọi G là giao điểm của đường thẳng qua E song song với AB và đường thẳng qua F song song với AC, K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF.
a) Chứng minh rằng 90 OKD ° = .
b) Gọi N là trung điểm của OA. Chứng minh rằng NM NK = .
Bài 5. (7 điểm)
An và Bình chơi trò chơi trên bảng 8 x 8. Hai bạn thay phiên nhau đi. Mỗi bước, An đánh dấu một ô trống nào đó (chưa được đánh dấu cũng như không bị phủ bởi các quân domino). Còn mỗi bước, Bình được phép chọn 2 ô kề nhau và phủ chúng bởi một quân domino sao cho hai ô này đều chưa bị phủ bởi domino, và tổng số ô bị đánh dấu mà quân domino đó phủ lên là 0 hoặc 2 (tức là, hoặc cả hai ô đều đã bị đánh dấu, hoặc cả hai ô đều chưa bị đánh dấu). Người nào không thể đi được nữa thì thua. Hỏi ai có chiến lược thắng cuộc nếu:
a) An là người đi trước?
b) Bình là người đi trước?
* Một domino là một hình chữ nhật gồm hai ô kề nhau.
Bài 6. (7 điểm)
Với số nguyên dương n, kí hiệu ( ) n τ là số các ước số nguyên dương của n (kể cả 1 và n).
a) Chứng minh rằng phương trình ( ) 2025 n τ = có vô số nghiệm.
b) Hãy tìm tất cả số nguyên dương k sao cho ( ) ( ) 2 n k n τ τ = , với n nguyên dương nào đó.
------------------ HẾT ------------------
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
