Đề chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2025 - 2026 trường THPT Phú Xuyên B - Hà Nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÚ XUYÊN B

(Đề thi có 02 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học 2025 - 2026

Môn Toán - lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I: (4,0 điểm).

1. Cho phương trình lượng giác: 2cos2x – 3sinx = 0 (1).

a. Giải phương trình (1).

b. Tìm các nghiệm của phương trình (1) trong đoạn 3 [ 2 ; ] 2

  −

2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình: 2cos2x – 3sinx – 2m + 3 = 0 vô nghiệm.

Câu II: (3,0 điểm).

1. Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 5?−? , 2?−3? , ?+ 2? theo thứ tự lập thành

cấp số cộng, và các số (?+ 1)2 , ??+ 1 , (?−1)2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm ?, ? .

2. Học sinh Nam tới Hội chợ Xuân 2026 và tham gia trò chơi ném bóng, mỗi lần ném người

chơi phải đặt cược một số tiền sau đó mới được chơi. Lần chơi đầu tiên Nam đặt 20 000 đồng, mỗi

lần chơi tiếp theo tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cược trước. Nam chơi thua 9 lần liên tiếp và thắng ở

lần thứ 10. Hỏi Nam thắng hay thua bao nhiêu tiền?

Câu III: (5,0 điểm).

1. Tính giới hạn. lim

?→+∞(?+ 1 −√?3 −?

3 )

2. Tìm m để hàm số

    

−−  = − − 

2 1 khi 1 2 ( ) 1 2 5 khi 1

x x x f x x x mx x

liên tục trên

3. Cho tam giác đều A1B1C1 có cạnh a. Người ta dựng tam giác đều A2B2C2 có cạnh bằng đường cao của tam giác A1B1C1, dựng tam giác đều A3B3C3 có cạnh bằng đường cao của tam giác A2B2C2 và cứ tiếp tục như vậy sẽ nhận được một dãy các tam giác. Tính tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3 …

Câu IV: (7,0 điểm).

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. G là trọng tâm của tam giác SAC. Gọi I là điểm nằm trong tam giác SAB.

1. Xác định giao điểm E của đường thẳng IG với mặt phẳng (SCD)

2. Trên đoạn AC lấy điểm F ( F khác A và C ). Gọi (?) là mặt phẳng qua F và song song với hai đường SC , BD. Xác định giao tuyến ( nếu có) của (?) với các mặt của hình chóp S.ABCD

3. Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh SB ( M khác S và B). Đường thẳng MG cắt SD tại N. Chứng

minh rằng giá trị biểu thức T = SB SD SM SN + không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

Câu V: (1,0 điểm) Cho dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 5, và ( ) 1 2 9 1 5 u u u n n n = − + + ,

; 1 n N n  . Chứng minh rằng:

1) (un) là dãy số tăng

2) 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 1 2 2026 u u u + + +  + + + , ; 1 n N n  

-------------------------Hết--------------------------

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Câu 1 : 1.

a. 2 5 2(1 sin ) 3sin 0 2 , 2 ( ) 6 6 x x x k x k k     − − =  = + = + 

b. 3 11 7 5 2 ; ; ; ; 2 6 6 6 6 x x          −  − −        

2.

2 2(1 sin ) 3sin 2 3 0 x x m  − − − + = , Đặt   sin , 1;1 x t t = − 2 2 3 5 2 t t m  + −= −

Vẽ đồ thị ta thấy hàm số

2 2 3 5 ( ) t t f t + − = ta thấy 49 ( ) ;0 8 f t −        

Để pt vô

nghiệm thì

2 0 0 49 49 2 8 16

m m

m m

−        −   −    

Câu 2 : 1. Theo bài ta có : 5 2 2(2 3 ) x y x y x y − + + = − và 2 2 2 ( 1) .( 1) ( 1) y x xy + − = +

14 4 9 9 ( ; ) (0;0), ; , ; 9 9 4 14 x y  − −               

2. Số tiền Nam đặt mỗi lần lập thành 1 cấp số nhân 1 20.000, 2 u q = =

Số tiền Nam có sau 10 lần chơi là :

9 9 2 1 20000.2 20000. 20000 2 1

− − = − (đồng) 0 

Nam thắng Câu 3 :

1. 3 3 lim ( 1 ) x x x x →+ + − − =

3 2 3

2 3 3 2 3 3 3 3 1 lim

( 1) ( 1) ( ) x

x x x x x

x x x x x x →+

  + + + − +     + + + − + +  

2

3 3 2 2

3 1 3 lim

2 1 1 1 1 1 . 1 1 x

x x

x x x x

→+

   + +         + + + + − +        

3 1 1 1 1 = = + +

2.

Ta có :

2

2 2 1 ( 1) ( ) 1 1 x x x f x x x −− − − = = − +

Để ( ) f x liên tục trên thì

2 (1 1) 5.1 5 1 1 m m − − = −  = +

Giải : Phạm Quang Minh