Đề thi chọn HSG Toán 11 năm 2025 - 2026 trường THPT Lê Hồng Phong 1 - Đắk Lắk

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT SỐ 1 LÊ HỒNG PHONG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG

NĂM HỌC 2025 – 2026 Môn thi: Toán – Khối lớp:11 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 02 trang, 5 câu) Câu 1. (4.0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a. sin 3cos 2 x x  

b.

2 2

2 2 2 3 2

2 3 2

x x y

y y x

Câu 2. (4,0 điểm)

a. Chứng minh rằng nếu ABC  thỏa mẫn điều kiện 0 1 2 cos 2 cos 2 cos     C B A thì tam

giác đó là tam giác vuông.

b. Cho hai đường tròn   ; O R và   ; O R   với R R  , cắt nhau tại A và B sao cho

90 OAO . Đường thẳng OO cắt đường tròn   ; O R tại , C D và cắt đường tròn   ; O R   tại

, E F sao cho các điểm , , , , , C O E D O F  nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. Tia BE cắt

đường tròn   ; O R tại K (khác B) và cắt đoạn thẳng AC tại M . Tia BD cắt đường tròn

  ; O R   tại L (khác B) và cắt đoạn thẳng AF tại N . Chứng minh ba điểm , , A C L thẳng

hàng.

Câu 3. (4,0 điểm)

a. Tính giới hạn sau:   2 lim 4 3 1 2 L n n n   

b. Cho dãy số ( ) n u xác định bởi: * 1 1 1; 2 3 , . n n n u u u n      Tìm công thức số hạng

tổng quát n u theo n.

Câu 4. (4,0 điểm)

a. Một cái tháp có 9 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp

và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới.

Biết mặt đáy tháp có diện tích là

2 a ( m ) . Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp

theo a (đơn vị mét vuông).

b. Tìm tất cả các cặp số   ,x y nguyên thỏa mãn:

2 2 5 4 169 x xy y    .

Câu 5. (4,0 điểm)

2

a. Cho tập hợp 1; 2; 3; 4; 5; 6 A . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập

thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn

có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.

b. Mỗi đỉnh của một ngôi sao năm cánh được sơn một màu. Có 6 màu khác nhau để lựa chọn

và hai đỉnh của mỗi cạnh phải có màu khác nhau( Hình minh họa phía dưới). Có bao nhiêu

cách tô màu cho các đỉnh của ngôi sao đó ?

--------- Hết --------

- Học sinh không được sử dụng tài liệu

- Học sinh không được sử dụng máy tính

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ………………………………………….; SBD:……………………

3

ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TOÁN 12

NĂM HỌC : 2025 – 2026

Câu Ý Lời giải Điểm

1 a sin 3cos 2 x x   2,0

sin 3cos 2

1 3 sin cos 1 2 2

x x

x x

 

  

0,5

cos sin sin cos 1 3 3 x x      0,5

sin( ) 1 3 x     0,5

5 2 ( ) 6 x k k Z       0,5

b 2 2

2 2 2 3 2 (1)

2 3 2 (2)

x x y

y y x

2,0

2 2 (1) (2)

3( ) 3( ) 0 3( )( 1) 0

1

x y x y x y x y

y x

y x

0,5

Th1: y =x thê vào ( 1 ) ta được:

2 1 3 2 0 2 x x x x

Khi đó hệ có nghiệm ( 1;1) , (2;2)

0,5

Th2: y =1-x thê vào ( 1 ) ta được: phương trình

2 1 0 x x vô nghiệm 0,5

Vây hệ có nghiệm : ( 1;1) , (2;2) 0,5

2 a Chứng minh rằng nếu ABC  thỏa mẫn điều kiện

0 1 2 cos 2 cos 2 cos     C B A thì tam giác đó là tam giác vuông.

2,0

2 cos2 cos2 cos2 1 0

2cos( ).cos( ) 2cos 0

A B C

A B A B C

  

    

0,5

2

2 2cos( ).cos( ) 2cos 0

2cos .cos( ) 2cos 0

C A B C

C A B C

     

   

0,5