Đề chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2025 - 2026 trường THPT Đồng Quan - Hà Nội

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐỒNG QUAN ĐỀTHI CHÍNH THỨC (Đềthi có 02 trang)

ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 11 - NĂM HỌC 2025 -2026 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian phát đề

Họ, tên thí sinh: ................................................................ Sốbáo danh: ........................................

PHẦN I – Trảlời ngắn (10 điểm) Thí sinh trảlời từcâu 1 đến câu 10. Với mỗi câu hỏi, thí sinh ghi kết quảvào giấy thi.

Câu 1. Tìm sốnghiệm của phương trình cos2 3π

4 −x −cos x = 1

2 trong đoạn [−3π; 4π].

Câu 2. Cho mẫu sốliệu ghép nhóm vềtiền lương hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) và sốnhân viên như bảng sau. Tìm tứphân vịthứba Q3 của mẫu sốliệu đã cho (làm tròn đến hàng phần chục).

Lương (đơn vị: triệu đồng) [10; 15) [15; 20) [20; 25) [25; 30) [30; 35) Sốnhân viên 10 15 15 8 3

Câu 3. Cho hàm sốf(x) =

 



2x3 + ax2 + bx −1

x −1 khi x < 1

−x2 + 2x khi x ≥1 (a, b là các tham số). Tìm a −b

biết hàm sốliên tục trên R.

Câu 4. Ba sốa, b, c theo thứtựlập thành một cấp sốnhân với công bội q khác 1. Biết cũng theo thứtựđó chúng lần lượt là sốthứnhất, thứtư và thứtám của một cấp sốcộng có công sai d. Tìm giá trịcủa a+b+c

d .

Câu 5. Xét hàm sốy = √

4x2 −x + 1 + mx + 3 (m là tham số). Biết hàm sốnày có giới hạn hữu hạn tại −∞(tức là x →−∞). Giá trịcủa giới hạn này bằng?

Câu 6. Cho tứdiện OABC có OA = OB = OC = a, [ AOB = [ AOC = 60◦, \ BOC = 90◦. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MC = 2MB. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AM và OC.

Câu 7. Cho tam giác ABC không vuông, thỏa mãn điều kiện: tan A, tan B, tan C theo thứtự đó lập thành một cấp sốcộng. Hãy tìm giá trịnhỏnhất của góc B.

Câu 8. Cho dãy số(un) xác định bởi

( u1 = 1 un+1 = p

3u2 n + 2 (∀n ∈N∗) . Tính tổng S =

u2 1 + u2 2 + u2 3 + · · · + u2 2025.

Câu 9. Có sáu tấm thẻ, mỗi thẻghi một trong các sốcủa tập E = {1; 2; 3; 4; 6; 8} (hai thẻ khác nhau ghi hai sốkhác nhau). Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất đểrút được ba thẻghi ba sốlà sốđo ba cạnh của một tam giác có góc tù.

Câu 10. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ tâm O cạnh có độdài bằng 1. Gọi M, P là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh AA′, CC′ sao cho AM = 3

4AA′, CP = 1

4CC′. Mặt phẳng (α) thay đổi đi qua M, P đồng thời cắt hai cạnh BB′, DD′ lần lượt tại N và Q. Tìm giá trị nhỏnhất của chu vi tứgiác MNPQ.

Trang 1

1

PHẦN II – Tựluận (10 điểm) Thí sinh trảlời từcâu 11 đến câu 15. Với mỗi câu hỏi, thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi.

Câu 11 (1,5 điểm). Tìm tất cảcác giá trịcủa tham sốm đểphương trình 4 cos3 x −cos 2x + (m −3) cos x = 1 có đúng 8 nghiệm phân biệt trong đoạn −π

2; 2π .

Câu 12 (1,5 điểm). Cho dãy số(un) xác định bởi

( u1 = 6 un+1 = un + 1 + √4un + 1, ∀n ∈N∗ .

Tìm u2026.

Câu 13 (2,5 điểm). Cho dãy số(un) xác định bởi

 



u1 = 5

un+1 = 5un + 4

un + 2 , ∀n ∈N∗

a) Chứng minh dãy số(un) là dãy giảm và bịchặn dưới.

b) Với mỗi n ∈N∗, ta kí hiệu vn = 1 u1 −4 + 1 u2 −4 + · · · + 1 un −4. Tìm lim vn + n

5

.

Câu 14 (1,5 điểm). Cho tập hợp X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, và lục giác đều ABCDEF tâm O. Ta đặt ngẫu nhiên các chữsốtrong tập X vào các đỉnh và tâm của lục giác sao cho mỗi vịtrí chứa đúng một số(hai vịtrí khác nhau được đặt hai sốkhác nhau). Tính xác suất đểsốnằm ởtâm O là một sốlẻvà tổng 3 sốở3 vị trí thẳng hàng luôn bằng nhau.

A B

C

D E

F O

Câu 15 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; các mặt bên SAB, SAC là các tam giác vuông đỉnh A và SA = a √

3. Gọi K là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên cạnh SA lấy điểm I sao cho AI = 2 √

3 3 a.

a) Chứng minh rằng đường thẳng GI song song với mặt phẳng (SBC).

b) Gọi M là một điểm di động trên cạnh AB (với M không trùng với A và B). Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với các đường thẳng SA và BC. Mặt phẳng (P) và các mặt của hình chóp cắt nhau tạo thành tứgiác MNPQ (N ∈AC, P ∈SC, Q ∈SB). Kí hiệu SMNPQ, SAMN lần lượt là diện tích tứgiác MNPQ, diện tích tam giác AMN. Tìm vịtrí của điểm M trên cạnh AB đểtổng SMNPQ + …