Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 11 năm 2024 - 2025 sở GDĐT Hà Nam

Trang 1/2

Câu I. (4,0 điểm)

1. Một chiếc cầu bắc qua sông, mặt dưới gầm cầu có dạng cung AB của đồ thị hàm

số 8 3 cos 2 3 12 x y = + với [ ] 6 ;6 x∈−π π được mô tả trong hệ trục toạ độ Oxy với đơn

vị trục là mét (trục Ox mô tả mặt nước sông) như hình minh họa dưới đây

Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 6 mét so

với mặt nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 12,6 mét.

2. Cho phương trình sin3 cos2 sin 1 x x m x + − = với m là tham số. Tìm tất cả các giá

trị của m để phương trình có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng ;2 2 π π   −    

.

Câu II. (4,0 điểm)

1. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao22,5mét. Giả sử sau mỗi lần chạm đất quả bóng cao su lại nảy lên độ cao bằng 80% độ cao của lần rơi trước. Tính chiều dài quãng đường quả bóng cao su di chuyển từ khi được thả đến khi không nảy nữa.

2. Cho dãy số   n u xác định bởi    

1

* 1

2025

2 3 , n n n

u

n u u u n 

        .

Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( ) n u và tính 2 lim n u n .

Câu III. (2,0 điểm)

Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn

1 ( ) 1 lim 16 1 x f x x → + = − . Tính

2

1 ( ) ( ) 2 lim . 1 x x x f x x → + + −

Câu IV. (2,0 điểm)

Ba cầu thủ đá phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là

x, y và 0,6 (với x y > ). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0,336 . Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.

x

y

B A

O 6π - 6π

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10, 11 THPT VÀ LỚP 12 GDTX CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024 - 2025

Môn: Toán 11 Thời gian làm bài: 180 phút

Trang 2/2

Câu V. (6,0 điểm)

1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng ( ) α không đi qua S cắt các cạnh , , , SA SB SC SD lần lượt tại , , , M N P Q sao cho

2 SA SM = và 3 SC SP = . Tính . SB SD SN SQ +

2. Cho hình lăng trụ tam giác . ABC A B C ′ ′ ′, điểm M nằm trên cạnh AC sao cho . AM kMC = Mặt phẳng ( ) P đi qua M song song với hai đường thẳng AB′ và . A C ′

Gọi N là giao điểm của mặt phẳng ( ) P và đường thẳng BC .Tìm k để 5. 3 NB NC =

3. Cho tứ diện OABC có các cạnh , , OA OB OC đôi một vuông góc. Gọi M là một

điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

2 2 2 . MA MB MC T OA OB OC = + +

Câu VI. (2,0 điểm)

Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 6. 3 2 a b c + + =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 9 36 a b c P a bc b ca c ab = + + + + + .

--- HẾT---

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:................................................. Cán bộ coi thi số 1:…………………………….. Cán bộ coi thi số 2:..……………................

Trang 1/10

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10, 11 THPT VÀ LỚP 12 GDTX CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024 – 2025

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11

(Hướng dẫn chấm gồm 10 trang) I. HƯỚNG DẪN CHUNG

o Hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. o Đối với bài toán hình học nếu học sinh chứng minh có sử dụng đến hình vẽ thì yêu cầu phải vẽ hình, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng. o Điểm toàn bài không làm tròn. II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Sơ lược lời giải Điểm

I (4,0 điểm)

1. Một chiếc cầu bắc qua sông, mặt dưới gầm cầu có dạng cung AB của đồ thị hàm số

8 3 cos 2 3 12 x y = + với [ ] 6 ;6 x∈−π π được mô tả trong hệ trục toạ độ Oxy với đơn vị

trục là mét (trục Ox mô tả mặt nước sông) như hình minh họa dưới đây

Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 6 mét so

với mặt nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng

chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 12,6 mét.

2,0

Xét điểm ( ) ; M x y nằm trên cung …