Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 11 năm 2024 - 2025 sở GDĐT Tuyên Quang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TUYÊN QUANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề này có 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) 2 5 4 8 1. x x x      b)      

4 3 1 3 3 1 2 . x x x    

Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số   nu xác định bởi: 1

2 2 u  và 2 1

1 2 , . 3 3 n n u u n    

Chứng minh rằng:

a) 1 n u  với mọi *; n

b) Dãy số   nu có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có CA CB  và nội tiếp trong đường tròn ( ). O

Gọi R là điểm chính giữa cung nhỏ ; AB T và S lần lượt là trung điểm của , . CA CB Đường trung trực của các cạnh , CA CB lần lượt cắt CR tại Q và . P

1. Chứng minh rằng:

a) . . ; QT CP PS CQ 

b) Hai điểm P và Q đối xứng nhau qua đường trung trực của đoạn thẳng . CR

2. So sánh diện tích hai tam giác RTQ và . RPS

Câu 4 (3,0 điểm). Cho đa giác đều ( ) H có 30 đỉnh nội tiếp trong đường tròn ( ). O

a) Có bao nhiêu đường chéo của đa giác ( ) H không phải là đường kính của ( ) O ?

b) Tính số tam giác tù có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác ( ). H

Câu 5 (3,0 điểm). Giả sử   1 2 78 ; ;...; x x x là một hoán vị của tập   1976;1977;...; 2053 . A 

a) Tìm dư khi chia 1 2 78 ... a x x x  cho 79.

b) Chứng minh rằng tồn tại   , 1; 2;...; 78 , m n m n   thỏa mãn: m n mx nx  chia hết cho 79.

Câu 6 (2,0 điểm). Cho đa thức ( ) P x có hệ số hữu tỉ, bậc 5 và   3 1 3 25. P   Chứng minh

rằng tồn tại một tam thức bậc hai ( ) Q x có hệ số hữu tỉ thỏa mãn

    ( 1) 25 . (0) 25 . (1) 25 132. ( 1). (0). (1) 0. P P P Q Q Q       

-----Hết-----

Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay trong khi làm bài.

Họ và tên thí sinh:………………………………………………..SBD:……………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11, NĂM HỌC 2024-2025

Môn: Toán (Đề thi chính thức)

----- Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) 2 5 4 8 1. x x x      b)      

4 3 1 3 3 1 2 . x x x    

Hướng dẫn chấm Điểm

a) Điều kiện xác định: 1 x  (*). Với điều kiện (*), ta có

2 5 1 4 8 PT x x x       (1). 0,5

Bình phương hai vế của (1) ta được

2 (1) 3 4 2 (2 5)( 1) 4 8 2 2 3 5 4 x x x x x x x             (2). 0,5

Vì 1 x  nên    

2 2 2 (2) 4 2 3 5 4 7 4 36 0 x x x x x          (3). 0,5

Giải (3) ta được hai nghiệm 18

7 x  (loại) và 2 x  (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2. x 

0,5

b) Ta có 3 1 3 1 3 4. 2 2

x x BPT                 

0,5

Đặt 3 1 , 0 2

x t t         

ta được 3 4 t t   (*). 0,5

Giải (*): 2 (*) 4 3 0 1 3. t t t      0,5

Suy ra 3 1

2

3 1 1 3 0 log 3. 2

x BPT x             

Vậy nghiệm của bất phương trình là 3 1

2 0 log 3. x   

0,5

Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số   nu xác định bởi: 1

2 2 u  và 2 1

1 2 , . 3 3 n n u u n    

Chứng minh rằng:

a) 1 nu  với mọi *; n

b) Dãy số   nu có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn chấm Điểm

a) Chứng minh: 1 nu  (*) với mọi *. n

Với 1 n  thì (*) là đúng.

0,25

Giả sử (*) đúng với , 1. n k k   Khi đó 1. ku  Hiển nhiên 0. ku  Do đó 2 1. ku  0,5