Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 11 năm 2024 - 2025 sở GDĐT Hà Tĩnh

Trang 1/2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 02 trang, gồm 05 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình ( ) 1 tan tan 2 sin 4 cos4 1 0 x x x x + + −= .

b) Cho một tam giác có ba ô tròn ở các đỉnh và ba ô tròn ở trung điểm của các cạnh (xem hình vẽ bên). Viết ngẫu nhiên sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 vào sáu ô tròn đó sao cho mỗi ô chỉ viết đúng một chữ số và chữ số ở các ô là đôi một khác nhau. Tính xác suất để tổng ba số trong các ô ở đỉnh và tổng ba số trong các ô còn lại là hai số tự nhiên liên tiếp.

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Cho ba số thực ( ) , , 1; a b c∈ +∞ thỏa mãn

2 2 2 2 log log .log 9log log a b b a a c b c c b b   + + =    

.

Tính giá trị của biểu thức 2 log logb a P b c = + .

b) Trong hội trường, xét một dãy gồm 25 chiếc ghế được xếp thành hàng dọc và cách đều nhau, tức là khoảng cách giữa hai ghế liên tiếp bất kì bằng nhau. Một nguồn phát âm thanh được đặt tại điểm O thẳng hàng với dãy ghế và nằm ngoài dãy ghế (xem hình vẽ bên). Biết rằng mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R (mét)

được kí hiệu là M L và tính theo công thức 2 log M c L R = (đơn vị: Ben),

với c là một hằng số dương. Xem mỗi ghế như một điểm, người ta đo được mức cường độ âm tại ghế đầu tiên là 4 (Ben) và tại ghế cuối cùng là 2 (Ben). Hỏi mức cường độ âm tại ghế thứ 9 bằng bao nhiêu?

Câu 3. (6,0 điểm)

a) Trên bãi cỏ bằng phẳng có một cây xanh thân thẳng đứng. Để có bóng mát và thuận tiện cho việc cắm trại, một nhóm bạn đã đóng ba cái móc trên mặt đất vào các vị trí , , B C D sao cho ABCD là một hình chữ nhật trong đó điểm A được coi là trùng với gốc cây và 3 AB = (mét), 4 AD = (mét). Trên thân cây cố định một điểm gọi là S , căng ba sợi dây không giãn thành các đoạn thẳng , , SB SC SD làm khung trại, phủ vải bạt xung quanh tạo thành lều trại là hình chóp tứ giác . S ABCD (xem hình vẽ bên). Biết rằng đường thẳng AC tạo với mặt phẳng ( ) SBC một góc bằng α thỏa mãn

52 cos 61 α = . Hỏi nhóm bạn đó phải sử dụng tất cả bao nhiêu mét dây để làm khung của

chiếc lều trại nói trên? (không tính phần dây dùng để buộc vào thân cây và móc).

Nguồn âm O

Ghế thứ 9

Ghế cuối cùng

Ghế đầu tiên

Trang 2/2

b) Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′ ′ ′ có M là trung điểm BB′. Các điểm , E F lần lượt

nằm trên các đường thẳng , AB CA ′ ′ sao cho // EF C M ′ . Tính các tỉ số AE AB′ và CF CA′ .

Câu 4. (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số thực ,a b để tồn tại giới hạn

2

2 0 6 1 lim x x ax b x x x → + + − + + và giới

hạn này là hữu hạn.

b) Xét một tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Ta xây dựng quá trình tạo hình có dạng bông tuyết như sau: Đầu tiên, chia mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác ABC rồi xóa đáy của nó, ta được hình ( ) 1 H .

Sau đó, chia mỗi cạnh của ( ) 1 H thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng

ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài ( ) 1 H rồi xóa đáy của nó, ta được hình ( ) 2 H .

Cứ tiếp tục quá trình như trên ta được dãy các hình ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 , , , ..., ,... n H H H H .

(tham khảo hình vẽ dưới đây).

Tính chu vi và diện tích của hình ( ) 4 H .

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho dãy số ( ) n u xác định bởi

1 2

2 * 1 2

1, 2

3, . n n n

u u

u u n u

+ +

= =   +  = ∀∈  

Tính

1 2 2 3 1

1 1 1 lim ... n n n u u u u u u →+∞ +

  + + +    

.

---------------------------HẾT----------------------------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu; - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………….………………… Số báo danh: ...............................................