Đề chọn HSG Toán 11 năm 2024 - 2025 trường THPT Đức Hợp - Hưng Yên

TRƯỜNG THPT ĐỨC HỢP

TỔ TOÁN TIN

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2024-2025

Môn thi: TOÁN Đề gồm có 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm):

a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos 1 3 y x = + −.

b) Rút gọn biểu thức A = 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin α α α α + − + − + , cho biết 0 2 π α < < .

Câu 2 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau:

a)

2 2cos 3sin 0 x x − = .

b) ( ) ( ) ( ) 2

2 2 2 1 log 1 log 1 log 5 2 x x x − + + = − .

Câu 3 (2,0 điểm):

a) Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn ( )

1 1 lim 16. 1 x f x x → + = − Tính ( ) ( ) 2

1 2 lim . 1 x x x f x

x → + +

−

b) Học sinh Nam tới Hội chợ Xuân 2025 và tham gia trò chơi ném bóng, mỗi lần ném người chơi

phải đặt cược một số tiền sau đó mới được chơi. Lần chơi đầu tiên Nam đặt 20 000 đồng, mỗi lần chơi tiếp

theo tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cược trước. Nam chơi thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi Nam

thắng hay thua bao nhiêu tiền?

Câu 4 (1,0 điểm):

Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và ??, ?? là các số thực bất kì. Xét hàm số

( ) ( ) ( ) 2 ( ) g x f a f b f x = + − . Chứng minh rằng phương trình ( ) 0 g x = luôn có nghiệm thực

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 5??−?? , 2??−3?? , ??+ 2?? theo thứ tự lập thành cấp số

cộng, và các số (??+ 1)2 , ????+ 1 , (??−1)2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm ??, ?? .

Câu 6 (2,0 điểm):

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA = SB = SC , đường cao SO của hình chóp

S.ABC có độ dài bằng 2a .

a) Chứng minh rằng SA BC ⊥

b) M là điểm thuộc đường cao AH của tam giác ABC (M khác A và H ). Mặt phẳng (P) đi qua M và

vuông góc với AH cắt hình chóp theo thiết diện. Tìm vị trí của M để diện tích thiết diện lớn nhất.

--------Hết---------

Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Học sinh không được sử dụng tài liệu.

TRƯỜNG THPT ĐỨC HỢP

TỔ TOÁN TIN

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2024-2025

Môn thi: TOÁN

Đáp án này gồm có 06 trang Câu Nội dung Điểm

1a Câu 1 (2,0 điểm): a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos 1 3 y x = + −. 1,0

1 cos 1 0 cos 1 2 0 cos 1 2 x x x −≤ ≤⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ 0,50

0 2 cos 1 2 2 3 2 cos 1 3 2 2 3 x x ≤ + ≤ ⇒−≤ + − ≤ − 0,25

GTNN bằng -3 khi cos 1 2 , x x k k π π = −⇔ = + ∈

GTLN bằng 2 2 3 −khi cos 1 2 , x x k k π = ⇔ = ∈

0,25

1b b) Rút gọn biểu thức A = 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin α α α α + − + − + , cho biết 0 2 π α < < .

1,0

Khi đó

2

2 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 4 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin A α α α α α α α α α

  + − + − = + = + + =     − + − + −  

2 4 cos α = 0,50

Vì 0 2 π α < < nên cos 0 α > do đó 2 cos A α =

.

0,50

2a Câu 2 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau: a)

2 2cos 3sin 0 x x − = . 1,0

Ta có: ( ) 2 2 2 2cos 3sin 0 2 1 sin 3sin 0 2sin 3sin 2 0 x x x x x x − = ⇔ − − = ⇔ + − = 0,5

2 sin 2( ) 2sin 3sin 2 0 1 sin 2

x VN x x x

= −   + − = ⇔ = 

0,25

2 1 6 sin sin , 5 2 6 2 6

x k x k x k

π π π π π

= +  = = ⇔ ∈  = + 



Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là 5 2 , 2 , 6 6 x k x k k π π π π = + = + ∈

0,25

2b b) ( ) ( ) ( ) 2

2 2 2 1 log 1 log 1 log 5 2 x x x − + + = − . 1,0

Đk: 1 5; 1 x x −< < ≠.

Ta có ( ) ( ) ( ) 2

2 2 2 1 log 1 log 1 log 5 2 x x x − + + = −

( ) ( ) 2 2 2 log 1 log 1 log 5 x x x ⇔ − + + = −

0,25

( ) ( ) ( ) 2 2 log 1 1 log 5 1 1 5 x x x x x x ⇔ − + = − ⇔ − + = − 0,25