Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2024 - 2025 trường THPT Thị xã Quảng Trị

TRƯỜNG THPT THỊ XÃ

QUẢNG TRỊ

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 11 THPT

Khóa ngày 4 tháng 4 năm 2025

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (3 điểm) Tìm tập xác định của hàm số 2 3 3 ( ) 2 2025 log 5log 4 f x x x x x .

Câu 2. (2 điểm) Tìm số nghiệm của phương trình 9 7 sin 2 3cos 1 2sin 2 2 x x x                  

trên

khoảng   ;2 .   

Câu 3. (3 điểm) Ông An cần thuê xe chở 140 tấn xi măng và 9 tấn thép để xây dựng công trình. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó xe A có 10 chiếc và xe B có 9 chiếc. Một xe loại A cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại B cho thuê với giá 4,5 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 tấn xi măng và 0,6 tấn thép, mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 tấn xi măng và 1,5 tấn thép. Tính số xe loại A và loại B cần thuê để ông An mất ít tiền thuê xe nhất.

Câu 4. (2 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = 3:

3 6 2 21 3 ( ) 3 3 1 3

x x khi x f x x m khi x

.

Câu 5. (3 điểm) Cho dãy số   nu là một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1 u , công bội 3. q 

Chứng minh rằng

3 1 4 2 5 3 2026 2024

1 1 1 1 2. ... 3 u u u u u u u u         

Câu 6. (2 điểm) Cho dãy số   nu thoả mãn  

1

2

1 2

2025

3 , 1 3 1

n n n

n

u

u u u n u 

         

. Chứng minh rằng dãy

số   nu có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 7. (3 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 3 ,a 6 SA SB SC a    và tam giác ABC đều. Giả sử ( ) P là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua A và vuông góc với mặt

phẳng ( ) SCD . Gọi  là góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng ( ) P . Tìm giá trị lớn nhất của sin.

Câu 8. (2 điểm) Bạn Dung và Ánh mỗi bạn có một hộp bi. Trong mỗi hộp đều có chứa bi trắng và chứa bi đen, tổng số bi trong hai hộp là 25 (các bi giống nhau về kích thước và trọng lượng). Biết hộp của Dung chứa nhiều bi hơn hộp của Ánh và số bi đen trong hộp của Dung nhiều hơn số bi đen trong hộp của Ánh.Từ mỗi hộp của mình mỗi bạn lấy ngẫu nhiên ra một viên. Tính xác suất để hai viên được lấy ra khác màu và biết rằng xác suất lấy ra được hai viên cùng màu đen là 0,39.

---------HẾT---------

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề có 01 trang

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay)

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 11 NĂM HỌC 2024 – 2025

MÔN TOÁN 11 Câu Nội dung 1. (3đ) Tìm tập xác định của hàm số 2 3 3 2 2025 log 5log 4 y x x x x .

Hàm số xác định khi

2 3 3

2025 0 0

log 5log 4 0

x x

x x

2

3 3 3

3

2025 0 2025 2025 0 3 0 0 0 81 2025 log 1 3 log 5log 4 0

81 log 4

x x x x x x x x x x x x

x x

Vậy 0;3 81;2025 D

2. (2đ) Tìm số nghiệm của phương trình 9 7 sin 2 3cos 1 2sin 2 2 x x x                  

trên khoảng

  ;2 .   

9 7 sin 2 3cos 1 2sin 2 2 cos2 3sin 1 2sin

x x x

x x x

                    

 

2 1 2sin sin 1 0

sin 2sin 1 0

x x

x x

  

  

sin 0

2 ( ). 1 6 sin 2 5 2 6

x k x

x k k x

x k

                       

Với     ;2 1 2 0;1 0; x k k k x       

 

 

2 ;2 0 6 6 5 5 2 ;2 0 6 6

x k k x

x k k x

        

        

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc   ;2 .  