Đề thi Olympic 30 tháng 04 năm 2025 Toán 11 trường chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM

K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ền t h ốn g 3 0 / 4 l ần t h ứ X X I X n ă m 2 0 2 5 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXIX - NĂM 2025

Môn: TOÁN

Khối: 11 Ngày thi: 05/04/2025

Câu Nội dung Điểm

1

Giải hệ phương trình

2

2

7 27 16

9 21 16 .

x x y

y y x

       

3

Điều kiện xác định: 0, 0. x y   Khi đó hệ tương đương với

2 2

2 2

72 16(3 )

56 16( 3 )

x y y

x y x

       

1

2 3

3 2

9 3 2 7 3 2

x y y

x xy

    

   

1

3

3

1 8 ( ) 2 1 . 3 ( )

2 y

x y x

y x

               

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1 3 ( , ) ; . 2 2 x y      

1

K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ền t h ốn g 3 0 / 4 l ần t h ứ X X I X n ă m 2 0 2 5 2

Câu Nội dung Điểm

2

Câu 1. Ký hiệu { } x là phần lẻ của số thực .x Đặt

1 { } { } 2 ( ) 1 { } 1 khi { } . 2

khi x x x f x

x x x

   

   

a. Tìm tập hợp tất cả các số nguyên n sao cho ( ) 2025. f n 

b. Với mỗi *, n đặt 1 1 1 2 . ( 1) ( 2) ( ) n u n f f f n      

Chứng minh dãy số ( ) nu có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

4

a.

Với mỗi số nguyên dương ,k đặt k N là tập các số nguyên dương m sao cho

( ) . f m k  Ta có

1 1 | 2 2 k N m k m k              

1

2 2

2 2

1 1 | 4 4

[ 1, ] [( 1) 1, ( 1)].

m k k m k k

k k k k k k k k

                      



Do vậy   2025 ( ) 2025 [2024.2025 1;2025.2026]. n f n N    

1

b.

Dễ thấy k N có 2k phần tử và mỗi số nguyên dương m nằm trong đúng một tập

k N với k nào đó. 0,5

Đặt ( ) f n   . Trong công thức của n u , với mỗi số nguyên dương 1 k    ,

hạng tử 1

k xuất hiện 2k lần; còn hạng tử 1

 xuất hiện ( 1) n    lần (tương ứng

với ( 1) 1, , m n     ).

0,5

Từ đó

2 2 ( 1) 2 ( ) 2( 1) 2 1 1. n

n n n n u n                    

Để ý rằng 1 2 n    và  tiến ra  khi n tiến ra  nên ( ) 1. n u 

1

K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ền t h ốn g 3 0 / 4 l ần t h ứ X X I X n ă m 2 0 2 5 3

Câu Nội dung Điểm

3

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho có thể điền vào bảng 4 4  mỗi ô một số trong tập hợp {1,2, , } n  sao cho mỗi số 1,2, ,n  đều có mặt trong bảng, đồng thời trong mỗi hàng và trong mỗi cột không có hai số bằng nhau hoặc hơn kém nhau 1 đơn vị.

4

Xét một cách điền thỏa mãn yêu cầu. Do các số trong mỗi hàng đôi một khác nhau nên 4. n  Nói riêng số 2 buộc phải xuất hiện trong bảng. Xét hàng/cột chứa một số 2. Theo giả thiết các số trong hàng/cột này đôi một hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị nên 8. n 

1,5

Nếu 8 n  thì trên hàng/cột chứa số 2 phải xuất hiện các số 2, 4, 6, 8.

Xét hàng/cột chứa số 7. Khi đó hàng/cột này phải chứa các số 1, 3, 5, 7. Suy ra ô giao của hàng chứa một số 2 và cột chứa một số 7 phải được điền một số vừa chẵn vừa lẻ, mâu thuẫn.

1,5

Với 9, n  ta có cách điền sau thỏa mãn

2 4 6 8 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1

1

K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ền t h ốn g 3 0 / 4 l ần t h ứ X X I X n ă m 2 0 2 5 4

Câu Nội dung Điểm

4

Gọi ,a b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 . ! 2 ( !) b a b a  

a. Chứng minh 2. b a   b. Tìm tất cả các cặp số ( ; ) a b thỏa mãn điều kiện đã cho.

4

a.

Giả sử 2. b a   Khi đó ta có 2 4 ! 2( 2)! . a a a a    

Do 1 b  nên 3. a  Rõ ràng 3 a  không thỏa mãn điều kiện trên nên 4. a 

Khi đó 2 4 a a a a  và ! 2(( 2)!) 2( !) 2 2 3 , a a a a a a         vô lý.

Vậy 2. b a  

1,5

b.

Rõ ràng 1. a  Với 2 a  thì 2 2 2 ( !) 2 b b   .

Dễ thấy 1 b  thỏa mãn vì 2. 2 2 1! 2  

Nếu 2 b  thì 2 ! b ∣ do đó   2 2 ( !) 2 mod 4 b   trong khi đó 2 4 2 b ∣ , mâu thuẫn.

0,5

Xét 3. a 

Nếu 1 b a   thì ( 1) ! a b ∣ và ( 1) ! a a ∣ nên ta có 2 ( 1) b a a ∣ , mâu thuẫn do 1 2 a  và 1 a  nguyên tố cùng nhau với .a

1

Suy ra 3 b a   (do 2 b a   ). Khi đó

2 ( 1)( 2)...( 1) 2 ! 1 . 2

b b b a b a a           

Nhân tử ( 1)( 2) ( 1) 1 2 b b a a     …