Đề chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2024 - 2025 sở GDĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2024-2025

VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG

QUỐC GIA NĂM HỌC 2025-2026

Khóa ngày 31 tháng 3 năm 2025

Môn thi: TOÁN HỌC

SỐ BÁO DANH:……………

BÀI THI THỨ NHẤT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 04 câu

Câu 1 (2,5 điểm):

a) Giải phương trình sin2 cos2 5sin 3cos 4 0. x x x x     

b) Bác Bình vay của Ngân hàng Chính sách xã hội với số tiền 360 triệu đồng để xây nhà. Sau mỗi tháng, bác Bình phải trả lãi cho Ngân hàng với lãi suất 0,4%/tháng và cứ sau 6 tháng thì bác Bình phải trả 36 triệu đồng tiền gốc cho Ngân hàng. Cứ như vậy, sau 60 tháng thì bác Bình đã trả hết tiền cho Ngân hàng. Tìm tổng số tiền lãi mà bác Bình phải trả.

Câu 2 (2,5 điểm):

a) Cho 2024 số thực 1 2 2024 , ,..., a a a thỏa mãn   1 2 2024 , ,..., 0;2025 . a a a  Chứng minh phương

trình 2024 2 2 2 1 2 2024 1 2 2024 2025( ... ) ... 1 0 x a a a x a a a          luôn có nghiệm.

b) Cho ( ) f x là một đa thức thỏa mãn

1

( ) 1 lim 2. 1 x

f x

x 

   Tính

3

3 1

( ) ( ) 7 3 lim . 2 x

f x f x x x 

   



Câu 3 (1,5 điểm):

a) Biển số xe ôtô của tỉnh Quảng Bình có dạng 73A . abc de  (trong đó: 73A là mã số cố định của tỉnh Quảng Bình; , , , , a b c d e là các chữ số không đồng thời bằng 0). Một biển số xe ôtô được gọi là biển số “đẹp” nếu thỏa mãn . a b c d e     Bác An chọn ngẫu nhiên một biển số xe ôtô của tỉnh Quảng Bình. Tính xác suất để bác An chọn được biển số “đẹp”.

b) Sắp xếp 3 bạn nam 1 2 3 , , B B B và 5 bạn nữ vào 8 cái ghế được xếp theo hàng ngang (mỗi

bạn ngồi một cái ghế). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thỏa mãn tất cả các điều kiện sau: 1 2 3 , , B B B

ngồi theo thứ tự đó từ trái qua phải; giữa 1 B và 2 B có ít nhất 1 bạn nữ; giữa 2 B và 3 B có nhiều nhất

2 bạn nữ.

Câu 4 (3,5 điểm): Cho hình lăng trụ . ABC A B C  và điểm M di động trên cạnh AB thỏa mãn AM x AB    0 1 . x   Mặt phẳng   đi qua M song song với các đường thẳng , AC A B  và cắt

các cạnh , AA , A C  , C B BC tương ứng tại các điểm , N , P , Q . K

a) Chứng minh giao điểm của MN và QK luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Nêu cách dựng các điểm , N , P , Q . K

b) Tính tỉ số QB

QC



 khi 2. 3 x 

c) Trong trường hợp . ABC A B C  là hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng 1, tìm giá trị lớn nhất của diện tích ngũ giác . MNPQK

-------------HẾT -------------

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2024-2025

VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG

QUỐC GIA NĂM HỌC 2025-2026

Khóa ngày 31 tháng 3 năm 2025

Môn thi: TOÁN HỌC

SỐ BÁO DANH:……………

BÀI THI THỨ HAI Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 05 câu Câu 1 (2,0 điểm):

a) Tìm tất cả các bộ ba số thực , , x y z thỏa mãn

2 2 2 3 3 3 3 2025 2025 2025 . 2025

x y z y z x z x y         

b) Cho đa thức bậc hai 

2 f x x bx c    với ,b c là hai số nguyên. Chứng minh luôn tồn tại

số nguyên a thỏa mãn      2024 . 2025 . f a f f 

Câu 2 (2,0 điểm): Cho dãy số   n u xác định bởi

1

2025 2024 * 1

5

. 3 , n n n n

u

u u u u n 

      

a) Chứng minh lim . n n u  

b) Với mỗi số nguyên dương ,n đặt     2024 2024 2024 1 2

1 . 1 1 ... 1 n

n v

u u u 

  

Tính lim . n n v 

Câu 3 (3,5 điểm): Cho tam giác nhọn ABC   AB AC  nội tiếp đường tròn . O Hai đường cao

, BE CF   , E AC F AB   cắt nhau tại . H Gọi , , , M N P Q tương ứng là trung điểm của các đoạn

thẳng , , , . BC CA AB AH Tia MH cắt  O tại .L

a) Chứng minh , , AL BC EF đồng quy tại một điểm . T

b) Gọi K là giao điểm của NP và . EF Chứng minh AK vuông góc với . OH

c) Đường thẳng đi qua A song song với BC cắt OQ tại . D Chứng minh giao điểm ( khác ) M của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MNP và MLT nằm trên đường thẳng . DM

Câu 4 (1,5 điểm): Cho n-giác đều 1 2... n A A A   , 3 . n n   Mỗi một đỉnh của n-giác đều 1 2... n A A A

được tô bởi một màu trong m màu cho trước   , …