Đề chọn HSG Toán 10 năm 2024 - 2025 trường THPT Phan Huy Chú - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHAN HUY CHÚ–QUỐC OAI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Môn : Toán – Khối: 10

Năm học : 2024-2025 Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1.(4,0 điểm) a. Cho hai tập hợp ( ) 5;3 A = − và [ ) 2; B = +∞. Tìm A B ∩ .

b. Cho hai tập hợp ( ] 2 7; , 9;12 A m m B   = − =   với A là tập hợp khác rỗng. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m thuộc [ ] 0;2024 để . B A ⊂

Câu 2.(4,0 điểm)

a. Vẽ đồ thị hàm số 2 4 3 y x x = − + . b. Tìm tất cả các tham số m để phương trình sau có nghiệm thực

2 4 3 4 x x m x x − + = + −

Câu 3.(3,0 điểm)

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất. Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC thỏa mãn: . 12 AB AC = và sin sin sin cos cos B C A B C + = + . Gọi M là trung điểm của

cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Tìm diện tích tam giác BMG .

Câu 5.(4,0 điểm)

a. Cho hình bình hành ABCD . Trên đường chéo BD lấy các điểm G và H sao cho

DG GH HB = = . Gọi M là giao điểm của AH và BC ; N là giao điểm của AG và DC . Chứng minh: 2 2 3 AM AN AC + =   

b. Cho tứ giác lồi ABCD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O . Gọi điểm H , K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO . Gọi điểm ,I J lần lượt là trung điểm của cạnh

AD và BC . Chứng minh rằng HK JI ⊥ .

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho các số thực , , x y z thỏa mãn 2 2 2 9 x y z + + = và 3. x y z + − = Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của biểu thức 1. 4 x z P y + − = +

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHAN HUY CHÚ–QUỐC OAI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Môn : Toán – Khối: 10

Năm học : 2024-2025 Thời gian làm bài: 120 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM

I. HƯỚNG DẪN CHUNG

o Hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. o Đối với bài toán hình học nếu học sinh chứng minh có sử dụng đến hình vẽ thì yêu cầu phải vẽ hình, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng. o Điểm toàn bài không làm tròn. II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câu Nội dung Điểm

1

a. Cho hai tập hợp ( ) 5;3 A = − và [ ) 2; B = +∞. Tìm A B ∩ .

b. Cho hai tập hợp ( ] 2 7; , 9;12 A m m B   = − =   với A là tập hợp khác

rỗng. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [ ] 0;2024 để . B A ⊂

(4,0 điểm)

a. [ ) 2;3 A B ∩ = 2,0

b. Để B A ⊂ thì 2 12 m m − ≥ 1,0 ( ] [ ) ; 3 4; m ⇔ ∈−∞− ∪ +∞ 0,5

Vì mnguyên và thuộc [ ] 0;2024 nên có 2021 giá trị 0,5

2

a. Vẽ đồ thị hàm số 2 4 3 y x x = − + . b. Tìm tất cả các tham số m để phương trình sau có nghiệm thực

2 4 3 4 x x m x x − + = + −

(4,0 điểm)

a. Vẽ đồ thị hàm số 2 4 3 y x x = − + . Nêu được toạ độ đỉnh ( ) 2; 1 I − Nêu đúng phương trình trục đối xứng 2 x =

1,0

Nhận xét được giao với các trục hoặc lập đúng bảng giá trị (tối thiểu là ba điểm) 0,5

Vẽ đúng đồ thị hàm số

0,5

3

1

3 2 1

y

x O