Đề thi Olympic Toán 10 năm 2024 - 2025 liên cụm trường THPT - Hà Nội

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: TOÁN 10 t 15 tháng 3 năm 2025 T 150 (Đề thi gồm 02 trang)

PHẦN I. TRẢ LỜI NGẮN (10,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Với mỗi câu hỏi, thí sinh viết kết quả vào giấy thi.

Câu 1.(1,0 điểm) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 2 x m y x m    

xác định trên

  1;0  có dạng    ; ; T a b   . K đó .ab có giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 2.(1,0 điểm) Đ ểm kiểm tra môn Toán của một nhóm gồm 10 học s ư s u

3 4 4,5 5 6 6,5 8 8,5 9 10

K đó tru vị của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu?

Câu 3.(1,0 điểm) Cho parabol 

2 : 4 P y ax bx    đ qu đ ểm   1;7 A và có trục đối xứng 1 x . Tích

ab nhận giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 4.(1,0 điểm) Cho Parabol 2 2 y x mx m    . Khi m t đổi, tập hợp đỉnh của Parabol là một đư ng

cong cắt đư ng thằng 1 y x   tạ đ ểm   , A a b . Tổng a b  bằng bao nhiêu?

Câu 5.(1,0 điểm) Tro ăm 2025, một cửa hàng kinh doanh xe máy dự định kinh doanh hai loại xe máy Lead và xe máy Vision, với tổng số vố đầu k ô vượt quá 36 tỉ đồng. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Lead là 40 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 5 triệu đồng một chiếc. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Vision là

30 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 3,2 triệu đồng một chiếc. Cử ước tính rằng tổng nhu cầu thị trư k ô vượt quá 1100 chiếc xe cả hai loại và nhu cầu xe Le d k ô vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision. Hỏi lợi nhuận có thể t u được lớn nhất của cửa hàng là bao nhiêu tiền? (Viết câu trả l t eo đơ vị triệu đồng).

Câu 6.(1,0 điểm) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để p ươ trì

2 4 0 x x m    có hai nghiệ dươ p â ệt ?

Câu 7. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC , trọng tâm G . Trên cạnh AB kéo dài lấ đ ểm I sao cho B là

tru đ ểm . AI Trên cạnh AC lấ đ ểm J sao cho 2 5 AJ AC  . Biết , IG kIJ  hỏi k bằng bao nhiêu?

Câu 8.(1,0 điểm) Để đo c ều cao CD của cây cổ thụ, bạn An chọn trên mặt đất đ ểm , A B có

khoảng cách 12 AB m  cùng thẳng hàng với chân C của gốc câ để đặt giác kế. Chân của giác kế có chiều cao 1,3 h m  . Gọ đ ểm quan sát 1 1 ; A B cùng thẳng hàng với 1 C thuộc chiều cao CD của cây cổ

thụ. Bạ Bì đo được góc 0 1 1 49 DAC  và góc 0 1 1 35 DBC  . Bạ A đo c ều cao của cây cổ thụ đó

bằng bao nhiêu (kết quả trò đến hàng phần chục).

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

Câu 9.(1,0 điểm) Ký hiệu , , a b c lầ ượt độ dài các cạ đố đ ện vớ các đỉnh , , A B C của tam giác

ABC . Biết tam giác ABC có các cạnh thoả hệ thức    3 a b c a b c ab    . K đó số đo của góc C

bằng bao nhiêu ? Câu 10.(1,0 điểm) Cho đều có cạnh bằng . Gọi đư ng thẳng qua và song song với

đư ng thẳng và đ ểm d động trên đư ng thẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

PHẦN II. TỰ LUẬN (10,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 11 đến câu 13. Với mỗi câu hỏi, thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi.

Câu 11.(4,0 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy , cho parabol 

2 2 : 3 2 1 P y x mx m m      v đư ng thẳng

: 2 D y x  . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để  D cắt  P tạ đ ểm phân biệt , A B sao cho

diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 12.(4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại B . Các đ ểm

, M N lầ ượt tru đ ểm của , AB AC và   7;3 I là trọng tâm tam giác ABN . Đ ểm E thuộc cạnh

AC sao cho IE IA  ( E k ác A) v đư ng thẳng : 2 13 0 IE x y    . Biết điểm M thuộc đư ng thẳng   1 : 3 12 0 d x y    , B thuộc đư ng thẳng   2 : 2 0 d x y    và A có o độ lớ ơ 5. Tìm tọ độ

các đ ểm , , A B C .

Câu 13.(2,0 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số dạng abc thỏa mãn a,b ,c độ dài 3 cạnh của một tam giác cân ( kể cả t ác đều )?

--------- HẾT ---------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ v tê t í s ……………………………… Số áo d ……………………… Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi thứ nhất: Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi thứ hai:

ABC 2a d A BC M d 2 MA MB MC  