Các dạng toán căn bậc hai và căn bậc ba Toán 9

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Trang: 1.

Chương III. CĂN BẬC HAI VÀ CĂN BẬC BA

Bài 7. CĂN BẬC HAl VÀ CĂN THỨC BẬC HAI

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Căn bậc hai

* Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho 2 = x a . Nhận xét:

- Số âm không có căn bậc hai;

- Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0 ;

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai đối nhau là a (căn bậc hai số học của a ) và a − .

* Tính chất của căn bậc hai: 2 a a = với mọi số thực a .

2. Căn thức bậc hai:

* Định nghĩa Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng A , trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

A xác định khi A lấy giá trị không âm, ta thường viết là A 0 ≥ . Ta nói A 0 ≥ là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của A .

* Hằng đẳng thức 2 A A =

Tương tự như căn bậc hai của một số thực không âm, với A là một biểu thức, ta cũng có:

+ Với 0, ta có A ≥ 2 0,( ) A A A ≥ = ;

+ 2 = A A

B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP

I. Tìm căn bậc hai của một số

Bài toán 1. Tìm các căn bậc hai của 16 4; ;3 9 .

Lời giải

Ta có: 4 0 > nên 4 có hai căn bậc hai là 2 và 2 − vì 2 2 4 = và

2 ( 2) 4 − =

Ta có: 16 0 9 > nên 16 9 có hai căn bậc hai là 4 3 và 4 3 − vì

2 4 16 3 9   ± =    

.

Ta có 3 0 > nên 3 có hai căn bậc hai là 3 và 3 − . Vì 2 ( 3) 3 ± = .

Bài toán 2. Giải phương trình:

a) 2 4 x = ; b) 2 2 x = ; c) 2 2 x = −; d) 2 0 x = .

Hướng dẫn: Nghiệm của phương trình 2x a = (với 0 a ≥ ) là các căn bậc hai của a .

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Trang: 2.

Lời giải a) Ta có 4 0 > nên 4 có hai căn bậc hai là 2 và 2 − vì 2 ( 2) 4 ± = .

Vậy 2 4 x = 2 2

x x =  ⇒= − 

.

Tập nghiệm của phương trình 2 4 x = là { } 2;2 S = − .

b) Ta có 2 0 > nên 2 có hai căn bậc hai là 2 và 2 − vì 2 ( 2) 2 ± = .

Vậy 2 2 x = 2

2

x

x

= ⇒ = − 

.

Tập nghiệm của phương trình 2 2 x = là { } 2; 2 S = − .

c) Ta có: 2 0 −< nên 2 − không có căn bậc hai ⇒ phương trình 2 2 x = − vô nghiệm.

Vậy S = ∅.

d) Ta có 2 0 0 x x = ⇒ = .

Tập nghiệm phương trình 2 0 x = là { } 0 S = .

(Bạn đừng nhầm với S = ∅ và { } 0 S = ).

Ta có thể giải cách khác nhau sau, chẳng hạn.

* 2 2 2 4 2 0 x x = ⇔ − = ( )( ) 2 2 0 x x ⇒ − + = 2 0

2 0

x

x

− =  ⇒+ = 

2 2 x x =  ⇒= − 

.

* 2 2 2 2 2 2 0 ( 2) 0 x x x = ⇒ − = ⇒ − = ( )( ) 2 2 0 x x ⇒ − + = 2

2

x

x

 = ⇒ = − 

.

Bài toán 3. Tìm căn bậc hai số học của số sau:

a) 144; b) 16 9 ; c) 1,21; d) 2 ( 1,69) − .

Hướng dẫn: Gọi x (không âm) là căn bậc hai số học của số a , ta có: 2x a = , ta đưa về bài toán 2 .

Lời giải

a) Gọi ( ) 0 x x ≥ là căn bậc hai số học của 144, ta có: 144 0 > , nên 144 có một căn số học là

12, ta viết: 144 12 = vì 2 12 144 = .

b) Ta có: 16 4 9 3 = vì 2

4 0 3

4 16 3 9

 >    =     

.

c) Ta có: 1,21 1,1 = vì 2 1,1 0

(1,1) 1,21

>   = 

.

d) Ta có 2 2 ( 1,69) (1,69) 1,69 − = = vì 1,69 0 > .

II. Phương trình dạng: A B =

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Trang: 3.

Cách giải: 2 0

B A B A B

≥  = ⇔ = 

.

(Thực chất của vấn đề là ta đã bình phương hai vế, vì 2 ( ) A A = ).

Bài toán 4. Giải phương trình:

a) 3 x = ; b) 2 1 x − = ; c) x x = ; d) 2 6 4 4 x x x − + = + .

Lời giải

a) Ta có: 3 x = 2 3 0 (luôn đúng)

3 x

≥  ⇒= 

9 x ⇒ = . Tập nghiệm: { } 9 S = .

b) Ta có 2 1 x − = 1 0 (luôn đúng)

2 1 x ≥  ⇒− = 

3 x ⇒ = . Tập nghiệm: { } 3 S = .

c) Ta có x x = 2 0 x x x ≥  ⇒= 

2 0

0

x

x x

≥  ⇒ − =  ( )

0

1 0

x

x x

≥  ⇒ − = 

0 1 x x =  ⇒= 

. Tập nghiệm: { } 0;1 S =

.

d) Ta có 2 6 4 4 x x x − + = + 2 2 4 0

6 4 ( 4)

x

x x x

+ ≥  ⇒− + = + 

2 2 4 6 4 8 16 x x x x x ≥−  ⇒− + = + + 

4 12 10 x x ≥−  ⇒ = − 

4

5 6

x

x

≥−  ⇒= − 

5 6 x ⇒ = − . Tập nghiệm: 5 6 S   = −    

.

Bài toán 5. Giải phương trình:

a) 2 1 1 0 x x −− −= ; b) 2 4 5 4 0 x x x + − + + = .

Hướng dẫn: Ta đưa về dạng A B =

Ta có 0 B A B

 ≥  = 

0 B A B ≥  ⇔ = 

.

Lời giải

a) Ta có: 2 2 1 1 0 1 1 x x x x −− −= ⇒ −= − 2 2 1 0 1

1 1 0

x x

x x x x

−≥ ≥  ⇒ ⇒  …