Các dạng toán đường tròn Toán 9

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Trang: 1.

CHƯƠNG V. ĐƯỜNG TRÒN

Bài 13. MỞ ĐẦU VỀ ĐƯỜNG TRÒN

PHẦN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Đường tròn

Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R (R 0) > ,

kí hiệu là ( ; ) O R , là hình gồm tất cả các điểm cách

điểm O một khoảng bằng R .

Kí hiệu (O;R) hoặc ( ) O

A là một điểm của đường tròn ( ) O thì ta viết A (O) ∈ .

Khi đó còn nói đường tròn ( ) O đi qua điểm A hay điểm A

nằm trên đường tròn ( ) O .

Trên hình vẽ ta thấy:

- Điểm A nằm trên đường tròn ( ) O .

- Điểm C nằm trong đường tròn ( ) O .

- Điểm B nằm ngoài đường tròn ( ) O .

Tổng quát:

- Điểm M nằm trên đường tròn (O;R) nếu OM R = .

- Điểm M nàm trong dương tròn (O;R) nếu OM R < .

- Điểm M nằm ngoài đương tròn (O;R) nếu OM R > .

II. Tính đối xứng của đường tròn 1. Đối xứng tâm

Hai điểm M và M′ gọi là đối xứng tâm với nhau qua

điểm I (hay qua tâm I ) nếu I là trung điểm của đoạn

thẳng MM′. 2. Đối xứng trục

Hai điểm M và M′ gọi là đối xứng trục với nhau qua đường thẳng d (hay qua trục d ) nếu d là đường trung trực của doạn MM'. III. Tâm và trục đối xứng của đường tròn

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Trang: 2.

- Đường tròn là hình có tâm đối xứng, tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.

- Đường tròn là hình có trục đối xứng, mỗi đường thẳng qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.

- Đường tròn có một tâm đối xứng, nhưng có vô số trục đối xứng.

PHẦN B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP

I. Xác định điểm nằm trên, nằm trong, nằm ngoài đường tròn

Bài toán 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm

M(0;2), N(0; 3) − và P(2; 1) − . Vē hình và cho biết trong các

điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm

nào nằm ngoài đường tròn (0; 5)? Vì sao?

Hướng dẫn: Dựng đường tròn tâm O, bán kính 5 trên mặt phẳng toạ độ (xem hình vẽ bên).

Giả sử điểm 2 2 A(2;1) OA 2 1 5 ⇒ = + = .

Lời giải

(Xem hình vẽ).

* Điểm M(0;2) OM 2 ⇒ = và M thuộc Oy.

* Điểm N(0; 3) ON 3 − ⇒ = và N thuộc Oy.

* Điểm 2 2 P(2; 1) OP 2 1 5 − ⇒ = + = .

Ta có: OM 2 5 = < nên M nằm trong đường tròn tâm O,

bán kính 5 .

ON 3 5 = > nên N nằm ngoài (0; 5)

OP 5 = nên diêm P nằm trên (0; 5).

Bài toán 2. Cho đường tròn (O;R) và năm điểm M, N, P, Q, K (hình vẽ).

So sánh độ dài các đoạn thẳng OM, ON, OH, OK, OP với R .

Lời giải

Ta có ba điểm M, H, K nằm trên đường tròn (O;R) nên

OM OH OK R = = = .

Điểm N nằm bên trong (O;R) nên ON R <

Điểm P nằm bên ngoài (O;R) nên OP R > .

Bài toán 3. Cho đường tròn (O), bán 5 cm và bốn điểm A, B, C, D thoả mãn OA 3 cm, =

OB 4 cm, = OC 7 cm, = OD 5 cm = . Hãy cho biết mỗi điểm A, B, C, D nằm trên, nằm trong

hay nằm ngoài đường tròn (O).

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Trang: 3.

Lời giải

OA 3 cm(3 5) = < nên điểm A nằm trong đường tròn (0;5).

OB 4 cm(4 5) = < nên điếm B nằm trong đường tròn (0;5).

OC 7 cm(7 5) = > nên điểm C nằm ngoài đường tròn (0;5).

OD 5 cm = nên điểm D nằm trên đường tròn (0;5) hay

D (0;5) ∈ .

II. Chứng minh nhiều điếm cùng thuộc đường tròn

Bài toán 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3 cm, AC 4 cm = = . Chứng minh rằng các

điểm A, B, C thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải

Xét tam giác ABC vuông tại A .

Theo định lí Pythagore, ta có:

2 2 2 2 2 BC AB AC 3 4 = + = +

2 2 BC 3 4 5( cm) ⇒ = + =

Gọi O là trung điểm của BC , ta có:

BC 5 OB OC 2,5( cm) 2 2 = = = =

Mặt khác OA là trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A

Ta có OA OB OC 2,5( cm) = = =

Nên ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O là trung điểm đoạn BC và bán kính

2,5( cm) R = .

Bài toán 5. Cho tam giác ABC đều có cạnh a , các đường cao BD và CE cát nhau tại H.

Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán

kính của đường tròn ấy.

Huớng dẫn: Chúng ta đưa vể bài toán 1, ở đây có hai tam giác vuông cùng chung cạnh huyền

BC .

Lời giải

Gọi O là trung điểm của BC .