Bài toán lũy thừa số tự nhiên trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 1/28

CĐ3: CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA SỐ TỰ NHIÊN

Dạng 1: So sánh hai lũy thừa

Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa với nhau)

Dạng 3: Một số bài toán khác

Dạng 1. So sánh hai lũy thừa A. Trắc nghiệm Câu 1. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021-2022)

Cho hai số 333 2 a = và 222 3 b = . Khẳng định nào đúng

A. a b = B. a b > C. a b < D. 3 2 a b =

Lời giải Chọn A

Ta có : 333 2 a = 3.111 2 = ( ) 111 32 = 111 8 =

222 3 b = 2.111 3 = ( ) 111 23 = 111 9 =

Vì 111 111 8 9 < nên a b < .

B. Tự luận Câu 1. (HSG 7 huyện Mường La 2021 - 2022)

Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần

100 2 ; 75 3 ; 50 5 Lời giải

Ta có 100 25 2 16 = ; 75 25 3 27 = ;

50 25 5 25 =

Mà: 0 16 25 27 < < < 25 25 25 16 25 27 ⇒ < <

Vậy:

100 50 75 2 5 3 < < Câu 2. (HSG 7 huyện Văn Lâm, tỉnh Hưng Yên 2022 - 2023)

Chứng tỏ rằng: 27 63 28 5 2 5 < < .

Lời giải

Ta có: 63 7 9 9 2 (2 ) 128 = =

27 3 9 9 5 (5 ) 125 = =

63 27 2 5 ⇒ > ( )1

Lại có: 63 9 7 7 2 (2 ) 512 = =

28 4 7 7 5 (5 ) 625 = =

63 28 2 5 ⇒ < ( ) 2

Từ ( ) 1 và ( ) 2 27 63 28 5 2 5 ⇒ < < .

Câu 3. (HSG 7 huyện Thái Thụy 2018 - 2019)

So sánh: 333 222 và 222 333

Lời giải

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 2/28

Ta có: ( ) 111 333 3 222 222 = ; ( ) 111 222 2 333 333 =

( ) 3 3 3 2 2 222 2.111 8.111 8.111.111 888.111 = = = =

( ) 2 2 2 333 3.111 9.111 = =

Vì 2 2 888 9 888.111 9.111 > ⇒ > 3 2 222 333 ⇒ > ( ) ( ) 111 111 3 2 222 333 ⇒ > 333 222 222 333 ⇒ >

Vậy 333 222 222 333 >

Câu 4. (HSG 7 huyện, trường 2022 - 2023)

So sánh hai số: 30 3 và 20 5

Lời giải

( ) 10 30 3 10 3 3 27 ; = = ( ) 10 20 2 10 10 5 5 25 27 = = <

30 20 3 5 ⇒ >

Câu 5. (HSG 7 huyện, 2017 - 2018)

So sánh: 20 16 và 100 2

Lời giải

Biến đổi 20 4.20 80 16 2 2 = =

Có 80 100 2 2 <

20 100 16 2 ⇒ <

Câu 6. (HSG 7 huyện)

So sánh hai A và B, biết:

21 3 ; A = 31 2 B =

Lời giải

( ) 10 21 2 10 3 3. 3 3.9 A = = =

( ) 10 31 3 10 2 2. 2 2.8 B = = =

Vì 10 10 3.9 2.8 > nên A B >

Câu 7. (HSG 7 huyện)

So sánh hai số: ( ) 39 5 − và ( ) 91 2 −

Lời giải

( ) ( ) 13 39 39 3 13 5 5 5 125 − = − = − = −

( ) ( ) 13 91 91 7 13 2 2 2 128 − = − = − = −

Ta thấy:

13 13 125 128 <

13 13 125 128 ⇒− > −

( ) ( ) 39 91 5 2 ⇒− > −

Câu 8. (HSG 7 trường Hồng Thái, Sơn Dương 2017 - 2018)

So sánh hai số 50 3 và 20 5 .

Lời giải

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 3/28

Ta có : ( ) ( )

10 3 30 10 3 3 27 ; = =

( ) 10 20 2 10 10 5 5 25 27 = = <

30 20 3 5 ⇒ >

Câu 9. (HSG 7 trường Lê Văn Tám 2017 - 2018; trường Nguyễn Khuyến 2015 - 2016) So sánh hợp lý:

a)

200 1 16      

và

1000 1 2      

b) ( ) 27 32 − và ( ) 39 18 −

Lời giải

a) Ta có:

200 4.200 800 1000 1 1 1 1 16 2 2 2         = = >                

b) Ta có: ( ) 27 27 5 135 156 4.39 39 39 32 2 2 2 2 16 18 = = < = < <

27 39 32 18 ⇒− > −

( ) ( ) 27 39 32 18 ⇒− > −

Câu 10. (HSG 7 trường Nguyễn Khuyến 2015 - 2016)

Biết x∈ và 0 1. x < < Chứng minh < n x x với , ∈ n  2 ≥ n .

Lời giải

Xét ( ) 1 1 − − = − n n x x x x

Với 0 1 < < x 1 1 0; − ⇒ −< n x 0 > x

0 ⇒ − < n x x

⇒ < n x x

Vậy < n x x với , ∈ n  2 ≥ n

Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) A. Trắc nghiệm Câu 1. (HSG 7 Phòng GD&ĐT Thanh Thủy 2022 - 2023)

Cho biểu thức 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 ... 3 3 3 3 3 3 N = − + − + + − . Khẳng định đúng là

A. 3 16 N < . B. 3 16 N > . C. 3 3 16 4 N < < . D. 3 4 N > .

Lời giải Chọn A

Ta có: 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 ... 3 3 3 3 3 3 N = − + − + + −

2 3 98 99 2 3 4 99 100 3 1 ... 3 3 3 3 3 N ⇒ = − + − + + −