Bài toán chứng minh chia hết, tìm chữ số tận cùng trong các đề thi HSG Toán 7

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 1/23

CĐ4: CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT

Dạng 1: Chứng minh chia hết

Dạng 2: Tìm số tận cùng

Dạng 1: Chứng minh chia hết A. Trắc nghiệm Câu 1. (HSG 7 huyện Thanh Thủy 2021 - 2022)

Cho 0 1 2 3 2021 2022 2 2 2 2 2 2 S ... = + + + + + + , khẳng định nào sau đây đúng?

A. 2022 2 S . B. 1 S + là số chính phương.

C. ( ) 2022 1 2 S +  . D. 2023 2 1 S = + .

Lời giải Chọn C

Ta có: 0 1 2 3 2021 2022 2 2 2 2 2 2 S ... = + + + + + +

1 2 3 2021 2022 2023 2 2 2 2 2 2 2 S ... = + + + + + +

( ) ( ) 1 2 3 2021 2022 2023 0 1 2 3 2021 2022 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S S ... ... − = + + + + + + − + + + + + +

2023 0 2 2 S = −

2023 2 1 = −

Suy ra: 2023 2022 1 2 2 S −= 

Vậy: 2022 1 2 S − .

Câu 2. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Nguyễn Tông Quai, 2022 - 2023) Một số tự nhiên a , sao cho a chia cho 3 dư 2 , chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 . Khi a chia cho 105 có số dư là:

A. 100. B. 53. C. 52. D. 10.

Lời giải Chọn B Vì a chia cho 3 dư 2 , chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 nên

2 3 3 5 4 7

a a a

−  −  − 

  

2 51 3

3 50 5

4 49 7

a

a

a

− −   ⇒ −−  − − 







53 3

53 5

53 7

a

a

a

−   ⇒ −  − 







53 a ⇒ − là bội của 105

hay a chia 105 có số dư là53.

B. Tự luận Câu 1. (HSG 7 Thanh Hóa 2022 - 2023)

Chứng tỏ rằng: 1945 1930 9 2 − chia hết cho 5.

Lời giải

Ta có: ( ) 972 1945 1444 2 972 9 9 .9 9 .9 81 .9 ...1.9 ...9 = = = = =

( ) 482 1930 1928 2 4 482 2 2 .2 2 .4 16 .4 ...6.4 ...4 = = = = =

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 2/23

Vậy: 1945 1930 9 2 ...9 ...4 ...5 − = − = nên chia hết cho 5.

Câu 2. (HSG 7 huyện Lương Tài 2022 - 2023)

Biết 1 a + và 2 1 a + đồng thời là các số chính phương. Chứng minh rằng 12 a .

Lời giải Ta có 1 a + và 2 1 a + đồng thời là các số chính phương

Đặt 2 1 a m + = ;

2 2 1 ( , ) a n m n + = ∈

Mà 2 1 a + là số lẻ n ⇒ lẻ

( ) 2 2 1 1 ( 1) a n n n ⇒ = −= + −

Vì n lẻ nên 1 n + , 1 n − là hai số chẵn liên tiếp.

( )( ) 1 1 8 2 8 4 n n a a − + ⇒ ⇒    (1)

Mặt khác 2 2 1 2 1 3 2 a a a n m + + + = + = + là số chia cho 3 dư 2

Do vậy cả hai số 2 n và 2 m chia cho 3 dư 1

Khi đó 2 2 2 1 1 3 m k a a a − = + − −=  (2)

Từ (1) và (2) suy ra 12 a

Vậy 12 a

Câu 3. (HSG 7 huyện Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 2022 - 2023)

Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng 9.10 18 n + chia hết cho 27

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) 9.10 18 9. 10 2 9 1 n n + = + 

Mặt khác 10n là số có tổng các chữ số là 1

Nên 10 2 n + là số có tổng các chữ số là 3

Suy ra ( ) ( ) 10 2 3 2 n + 

Từ ( )1 và ( ) 2 suy ra ( ) 9. 10 2 27 n +  hay ( ) 9.10 18 27 n + 

Câu 4. (HSG 7 huyện Liên Trường 2022 - 2023; huyện Thanh Ba 2021 - 2022)

Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có

3 2 1 4 4 4 4 n n n n + + + + − − chia hết cho 300.

Lời giải

Ta có 3 2 1 4 4 4 4 n n n n + + + + − − ( ) 3 2 4 . 4 4 4 1 4 75 n n = + − − =

1 1 4 .4.35 300.4 n n − − = =

Mà 1 300.4n− chia hết cho 300 (với mọi n nguyên dương)

Nên

3 2 1 4 4 4 4 n n n n + + + + − − chia hết cho 300

Câu 5. (HSG 7 huyện Diễn Châu 2022 - 2023)

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết 2 p + cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng 1 p + chia hết cho 6 .

Lời giải

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết 2 p + cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng 1 p + chia hết cho 6 .