Bài toán số nguyên tố và hợp số trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 1/21

CĐ 5: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ

Dạng 1: Sử dụng các tính chất của phép chia số nguyên

Dạng 2: Áp dụng định lý Fermat

Dạng 3: Sử dụng phương pháp phân tích

Dạng 4: Giải phương trình nghiệm nguyên dựa vào tính chất số nguyên tố

Dạng 5: Các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau

Dạng 1. Sử dụng các tính chất của phép chia số nguyên Câu 1. (HSG 7 huyện Bá Thước 2022 - 2023)

Cho , , , a b c d + ∈thỏa mãn ( ) 2 2 2 2 2021 3 a b c d + = + . Chứng minh a b c d + + + là hợp số.

Lời giải

Ta có: ( ) 2 2 2 2 2021 3 a b c d + = + ⇔ 2 2 2 2 2 2 2022 3064 a b c d c d + + + = +

Mà ( ) 2 2 2022 6064 2 c d +  nên ( ) 2 2 2 2 2 a b c d + + + 

Ta xét 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 a a b b c c d d a b c d   − + − + −+ − + + + +  

Mà 2 2 ( ) ( 1) 2; ( 1) 2; ( 1) 2; ( 1) 2 a a a a b b b b c c d d − = − − = − − −    

( ) 2 a b c d + + + . Do , , , a b c d + ∈nên 2 a b c d + + + >

Vậy a b c d + + + là hợp số.

Câu 2. (HSG 7 trường THCS Võ Thị Sáu 2022 - 2023)

Chứng minh rằng nếu 2 1 n − là số nguyên tố ( ) 2 n > thì 2 1 n + là hợp số.

Lời giải

Ta có: 2 1 n −; 2n ; 2 1 n + là ba số tự nhiên liên tiếp nên một trong ba số sẽ chia hết cho 3.

Mà 2 1 n − là số nguyên tố ( ) 2 n > nên 2 1 n − không chia hết cho 3

Mặt khác: với 2 n > thì 2n là số chẵn nên 2n không chia hết cho 3

Suy ra: 2 1 n + chia hết cho 3

Vậy 2 1 n + là hợp số (đpcm). Câu 3. (HSG 7 huyện Triệu Sơn 2022 - 2023)

Cho số nguyên tố p . Giả sử x , y là các số tự nhiên khác0 , thỏa mãn điều kiện

2 2 x py xy +

là các số tự nhiên. Chứng minh rằng

2 2 1 x py p xy + = + .

Lời giải

Gọi ƯCLN ( ) ( ) , * x y d d = ∈ , khi đó tồn tại các số tự nhiên a và b để x da = ; y db = và

( ) ; 1 a b =

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 2/21

Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 * x py d a pd a a pb xy d ab ab + + + = = ∈.

Từ đó ta được: ( ) 2 2 a pb ab +  ⇒( ) 2 2 a pb b +  ⇒ 2 a b .

Do ( ) ; 1 a b = nên ta suy ra được 1 b = . Suy ra ( ) 2 a p a +  ⇒p a .

Do p là số nguyên tố nên ra được 1 a = hoặc a p = . Khi đó ta xét các trường hợp

• Với 1 a = , khi đó ta được x y d = =

2 2 2 2

2 1 x py d pd p xy d + + ⇒ = = + .

• Với a p = , khi đó ta được x dp = ; y d =

2 2 2 2 2

2 1 x py d p d p p xy d p + + ⇒ = = + .

Vậy ta luôn có

2 2 1 x py p xy + = +

Câu 4 (HSG 7 huyện Thọ Xuân 2022 - 2023)

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì ( )( ) 1 1 p p + − chia hết cho 24 .

Lời giải

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 3 1 p k = + hoặc ( ) 3 2 * p k k N = + ∈

- Nếu 3 1 p k = + thì ( )( ) ( )( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 .3 3 1 1 1 1 k k p k p k = + + = + − + − +  - Nếu 3 2 p k = + thì ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 2 3 2 3 3 . 3 1 3. 1 3 1 3 1 1 1 1 k k k k k p k p = + + = + + + − + = + + −  Suy ra ( )( ) 1 1 p p + − chia hết cho 3 ( ) 1

Ta lại có: p là số nguyên tố lớn hơn 3nên p là số lẻ

Do đó 1 p + và 1 p − là hai số chẵn liên tiếp

Suy ra ( )( ) 1 1 p p + − chia hết cho 8 ( ) 2

Mà 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau ( ) 3

Từ ( ) 1 ,( ) 2 và ( ) 3 suy ra ( )( ) 1 1 p p + − chia hết cho 24 .

Câu 5 (HSG 7 Diễn Châu Liên trường THCS 2022 - 2023)

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết 2 p + cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng 1 p + chia hết cho 6 .

Lời giải Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, do đó 1 p + chẵn

( )1 2 p ⇒ +  (1)

Cũng do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 3 1 p k = + hoặc 3 2 p k = + ( ) k ∈

Nếu 3 1 p k = + thì ( ) 2 3 3 3 1 3 p k k + = + = + 

⇒ 2 p + không là số nguyên tố nên 3 1 p k = + không xảy ra.

Do đó 3 2 p k = + ⇒ ( ) 1 3 3 3 1 3 p k k + = + = +  (2)

Vì ( ) 2;3 1 = nên từ (1) và (2) ta có ( )1 6 p + 