Bài toán số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 1/14

CĐ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Dạng 1: Chứng minh một số (một tổng) là số chính phương

Dạng 2: Chứng minh một số (một tổng) không là số chính phương

Dạng 3: Tìm số chính phương

Dạng 1: Chứng minh một số (một tổng) là số chính phương Câu 1. (HSG 7 huyện Hậu Lộc 2022 - 2023)

Cho a , b , c , d là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 2 a b c d = + + . Chứng minh rằng: 2023 abcd + viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

Lời giải Cách 1:

Ta có: ( ) 2 2 2 1 4 4 1 4 ( 1) 1 m m m m m + = + + = + + .

Do đó ta có ( ) 2 2 1 m + là số chính phương lẻ chia 8 luôn dư 1.

Nếu , , , a b c d đều lẻ thì 2 2 2 2 , , , a b c d chia 8 đều dư 1 dẫn đến không xảy ra

2 2 2 2 a b c d = + + (vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3)

Vậy trong các số , , , a b c d phải có ít nhất một số chẵn nên abcd chẵn ⇒ 2023 abcd + lẻ.

Đặt ( ) 2023 2 1 abcd k k + = + ∈ ( ) 2 2 1 k k = + −

Cách 2:

2 2 2 2 a b c d − = + ⇒( )( ) 2 2 a b a b c d − + = +

Giả sử cả bốn số , , , a b c d đều lẻ thì ( ) ( ) , a b a b − + chẵn ⇒( )( ) 4 a b a b − + 

⇒( ) 2 2 4 c d + 

mà 2 2 , c d là các số chính phương lẻ khi chia cho 4 dư 1 nên ⇒( ) 2 2 : 4 c d + dư 2 ( mâu

thuẫn). Điều giả sử sai. Suy ra ít nhất một trong bốn số có một số chẵn ⇒abcd chẵn ⇒ 2023 abcd + lẻ.

Ta có: 2023 1011 1012 1012 1011 2 2 2 2 abcd abcd abcd abcd abcd     + = + + + = + + +        

1012 1011 .1 2 2 abcd abcd       = + + +            

1012 1011 . 1012 1011 2 2 2 2 abcd abcd abcd abcd            = + + + + − +                      

2 2 1012 1011 2 2 abcd abcd     = + − +        

mà abcd chẵn nên 2 abcd hay 2 abcd ∈⇒

2 2 1012 ; 1011 2 2 abcd abcd     + +        

là các số

chính phương. Vậy 2023 abcd + viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 2/14

Câu 2. (HSG 7 thị xã Nghị Sơn 2022 - 2023) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số, Tìm n biết 4 n + và 2n đều là các số chính phương.

Lời giải Nhận xét: Số chính phương không thể tận cùng là 2; 3; 7; 8

Vì 2n là số chính phương nên n chẵn ⇒n tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8

• Nếu n tận cùng là 4; 8 thì 4 n + không phải là số chính phương.

• Nếu n tận cùng là 6 thì 2n không phải là số chính phương.

Do đó n chỉ có thể tận cùng là 0 hoặc 2 ⇒ 4 n + chỉ có thể tận cùng là 4 hoặc 6 .

Vì n là số có hai chữ số nên 14 4 104 n ≤ + < . Mà 4 n + là số chính phương tận cùng là 4 hoặc 6 nên { } 4 16; 36; 64 n + ∈

• Nếu 4 16 n + = ⇒ 12 n = khi đó 2 24 n = (không thỏa mãn)

• Nếu 4 36 n + = ⇒ 32 n = khi đó 2 64 n = thỏa mãn)

• Nếu 4 64 n + = ⇒ 60 n = khi đó 2 120 n = (không thỏa mãn)

Vậy 32 n =

Câu 3. (HSG 7 Thành phố Ninh Bình 2022 - 2023) Cho 5 số dương đôi một khác nhau sao cho mỗi số không có ước nguyên tố nào khác 2 và

3. Chứng minh rằng trong 5 số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương

Lời giải

Mỗi số trong 5 số có dạng 2 3 x y ⋅ trong đó ,x y là số tự nhiên khác 0 .

( ; ) x y chỉ có thể ( ; );( ; );( ; );( ; ) C C L L C L L C vì có 5 số 4 dạng

nên tồn tại 2 số cùng một dạng nên tích 2 số này là số chính phương. Câu 4. (HSG 7 huyện Điện Bàn 2022 - 2023) Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số 2 . Chứng minh rằng hiệu a b − là một số chính phương.

Lời giải

Ta có: 30

60 / 1 30 / 1 30 / 0 30 / 1 30 / 1 30 / 1 111...111 111...11100...000 111...111 111...111.10 111...111

c s c s c s c s c s c s a = = + = +      

Đặt

30 / 1 111...111

c s c =  ⇒ 30

30 / 9 9 1 999...99 1 10

c s c + = + =  

Khi đó ( ) 2 . 9 1 9 2 a c c c c c = + + = + và 2 b c =

Xét hiệu ( ) 2 2 2 9 2 2 9 3 a b c c c c c − = + − = =

Vậy ( ) 2 3 a b c − = là số chính phương.

Câu 5. (HSG 7 huyện HƯNG HÀ, trường VĂN LANG 2022 - 2023)

Biết 1 1 1 1 1 ... 11 2 6 12 20 110 x x x x x x + + + + + + + + + + = . Chứng minh rằng 110x là số

chính phương.

Lời giải Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn ≥ 0 nên vế phải ≥ 0

suy …