Bài toán phân số trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 1/43

CĐ9: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ

Dạng 1: Tìm phân số thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 2: Chứng minh phân số đã cho là tối giản

Dạng 3: Tìm điều kiện để phân số là phân số tối giản

Dạng 4: Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được

Dạng 5: Một số bài toán có lời văn

Dạng 6: Các bài toán về so sánh

Dạng 1. Tìm phân số thỏa mãn điều kiện cho trước A. Trắc nghiệm (nếu có) Câu 1. (HSG 7 huyện Tân An 2017 - 2018)

Giá trị của x trong biểu thức   2 1 0,25 x   là:

A. 9 1 ; 4 4 B. 1 9 ; 4 4   C. 9 1 ; 4 4  D. 9 1 ; 4 4 

Lời giải Chọn A

  2 1 0,25 x  

1 1 2 1 1 2

x

x

     

3 2 1 2

x

x

     

9 4 1 4

x

x

   

Vậy 9 1 ; 4 4 x              

.

B. Tự luận Câu 1. (HSG 7 huyện Hậu Lộc 2022 - 2023)

Tính giá trị biểu thức

3 3 3 a b c Q abc    với , , a b c thỏa mãn: 

2 3 2 4 3 0 a b b c     .

Lời giải

3 3 3 a b c Q abc    với , , a b c thỏa mãn: 

2 3 2 4 3 0 a b b c    .

Vì   2 3 2 0; a b   4 3 0 b c   với ,a b  nên để  

2 3 2 4 3 0 a b b c     thì:

 

2 3 2 0

4 3 0

a b

b c

      

3 2

4 3

a b

b c

      2 3 4 a b c    .

Đặt 2 3 4 a b c k     2 ; a k  3 ; b k  4 c k  . Thay vào Q ta có:

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 2/43

3 3 3 a b c Q abc          3 3 3 2 3 4

2 .3 .4

k k k

k k k

     3 3 3 3

3 2 3 4

24

k

k

   33 8  .

Vậy 33 8 Q  .

Câu 2. (HSG 7 Thị xã Thái Hòa 2022 - 2023)

Cho 2 5 8 2 3 a b c b c a c a b b c a         và , , a b c khác 0 .

Tính 1 1 1 a b c P b c a

                               

Lời giải

Từ 2 5 8 2 3 a b c b c a c a b b c a         và , , a b c khác 0 .

 2 5 8 3 3 3 2 3 a b c b c a c a b b c a         

 2 3 a b c b c a c a b b c a      

TH1: Nếu 0 a b c 

b c a

a b c

c a b

      

Thay vào P ta có 1 P  TH 2: Nếu 0 a b c 

2 3 b c a    1 2 3 ; ; 3 1 2 a b c b c a    

Thay vào P ta có 10 P 

Câu 3. (HSG 7 huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh 2022 - 2023) Cho các số nguyên dương , , a b c thỏa mãn 2023 a b c  . Chứng minh rằng giá trị biểu

thức sau không phải là một số nguyên: 2023 2023 2023 a b c A c a b      

Lời giải

Theo bài ra ta có

2023

2023 2023

2023

c a b

a b c a b c

b a c

            

2023 2023 2023 a b c a b c A c a b a b b c a c            

Vì , , a b c là các số nguyên dương nên

1 a b c a b c a b c a b b c a c a b c b c a a c b a b c               

Ta lại có ; ; 1 a b c a b b c a c     nên

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 3/43

  2. 2 a b c a b c a c b a c b a b b c a c a b c b c a a c b a b c                  

Vì 1 2 A   nên A không phải là một số nguyên.

Câu 4. (HSG 7 tỉnh Quảng Ninh 2022 - 2023)

Cho , , a b c là các số thoả mãn : a b c b c c a a b      . Tính tổng :

a b b c c a S c a b       .

Lời giải Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1 2( ) 2 a b c a b c b c c a a b a b c          1 ) 2 2 a b c a b c     

1 ) 2 2 b c a b c a     

1 ) 2 2 c a b c a b     

Suy ra : 2 2 2 2 2 2 6 a b b c c a c a b S c a b c a b            

Câu 5. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Duyên Hải 2022 - 2023)

Tìm ba phân số tối giản. Biết tổng của chúng bằng 269 30 . Tử số của chúng tỉ lệ thuận với 5;

7 ; 11. Mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với 1 4 ; 1 5 ; 1 6 .

Lời giải

Gọi ba phân số tối giản cần tìm là: a b ; c d ; e f ( Điều kiện   , 1 a b ;   , 1 c d ;   , 1 e f ).

Vì tử số của chúng tỉ lệ thuận với 5; 7 ; 11 nên 5 7 11 a c e k   

5 ; 7 ; 11 a k c k e k    

Vì mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với 1 4 ; 1 5 ; 1 6 nên 1 1 1 4 5 6 b d f  

4 5 6 b d f q    

4 b q   ; 5 d q  ; 6 f q 

Do tổng của ba phân số bằng 269 30 nên 269 30 a c e b d f   

5 7 …