Bài toán đồng dư thức trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 1/21

CĐ12: ĐỒNG DƯ THỨC

Dạng 1: Sử dụng đồng dư thức chứng minh chia hết

Dạng 2: Sử dụng đồng dư thức tìm số dư

Dạng 3: Tìm điều kiện của biến để chia hết

Dạng 4: Sử dụng đồng dư tìm chữ số tận cùng

Dạng 5: Sử dụng đồng dư trong bài toán về số chính phương

Dạng 6: Sử dụng đồng dư trong bài toán về số nguyên tố, hợp số

Dạng 7: Sử dụng đồng dư trong bài toán tìm nghiệm nguyên

Dạng 1. SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC CHỨNG MINH CHIA HẾT Câu 1. (HSG 7 huyện Hoàng Hoá 2022 - 2023; Cẩm Thụy 2022 - 2023)

Cho , , , a b c d ∈ thỏa mãn ( ) 3 3 3 3 2 8 a b c d + = − . Chứng minh ( ) 3 a b c d + + + .

Lời giải

Ta có: ( ) 3 3 3 3 2 8 a b c d + = − .

3 3 3 3 3 3 3 15 a b c d c d ⇔ + + + = −

Mà ( ) 3 3 3 15 3 c d −  nên ( ) 3 3 3 3 3 a b c d + + + . (1)

Dư trong phép chia a cho 3 là 0;1; 1 −.

Suy ra dư trong phép chia 3 a cho 3 cũng lần lượt là 0;1; 1 −.

Như vậy: ( ) 3 mod 3 a a ≡ .

Tương tự ta có: ( ) 3 mod 3 , b b ≡ 3 (mod 3), c c ≡ 3 (mod 3) d d ≡ .

Suy ra: 3 3 3 3 (mod 3) a b c d a b c d + + + ≡ + + + . (2)

Từ (1) và (2) suy ra a b c d + + + chia hết cho 3.

Câu 2. (HSG 7 huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh 2022 - 2023)

Chứng minh rằng: ( ) 2 2 4 1 15 n+ −  với mọi số tự nhiên n .

Lời giải Ta có: 4 1 (mod 5) ≡−

2( 1) 2( 1) 4 ( 1) (mod 5) n n + + ⇒ ≡−

2( 1) 4 1 (mod 5) n+ ⇒ ≡

( ) 2( 1) 4 1 0 (mod 5) n+ ⇒ − ≡

( ) 2( 1) 4 1 5 n+ ⇒ − . (1)

Lại có: 4 1 (mod 3) ≡

2( 1) 2( 1) 4 (1) (mod 3) n n + + ⇒ ≡

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 2/21

( ) 2( 1) 4 1 0 (mod 3) n+ ⇒ − ≡

( ) 2( 1) 4 1 3 n+ ⇒ − . (2)

Lại có: 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau. (3)

Từ (1) và (2) và (3) ( ) 2 2 4 1 15 n+ ⇒ −  .

Câu 3. (HSG T7 TP Bắc Giang năm học 2022 - 2023)

Cho ; ; m n t là ba số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn: m n n t a − = −= ( * a N ∈ ). Chứng minh rằng a chia hết cho 6 .

Lời giải

Ta có: ( ) * m n n t a a N − = −= ∈

Suy ra ; n t a = + 2a m n a t = + = +

Do đó ta có ;t ; t a + 2 t a + là các số nguyên tố lớn hơn 3.

Xét số dư của ba số nguyên tố ;t ; t a + 2 t a + đã cho khi chia cho 3, số dư nhận được có thể là 1 hoặc 2 Do đó có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 3và hiệu của chúng chia hết cho 3.

Mặt khác ( ) t a; t a + −= ( ) ; 2 2 a t a t + −= ( ) ( ) 2a t t a a + − + =

Suy ra a hoặc 2a chia hết cho 3. Mà ( ) 2,3 1 = nên 3 a (1)

Vì , m n là các số nguyên tố lớn hơn 3nên , m n là các số lẻ

2 m n ⇒ − (2)

Từ ( ) 1 và ( ) 2 kết hợp với ( ) 2,3 1 = ta có 6 a

Câu 4. (HSG 7 huyện Cẩm Thụy, tỉnh Thanh Hóa, trường 2022 - 2023)

Cho ,a ,b ,c d ∈. thỏa mãn ( ) 3 3 3 3 2 8 a b c d + = − . Chứng minh a b c d + + + chia hết cho

3.

Lời giải

Ta có ( ) 3 3 3 3 2 8 a b c d + = − khi và chỉ khi 3 3 3 3 3 3 3 15 a b c d c d + + + = −

Mà ( ) 3 3 3 15 3 c d −  nên ( ) 3 3 3 3 3 a b c d + + +  ( ) 1

Dư trong phép chia a cho 3 là { } 1;0;1 − suy ra dư trong phép chia 3 a cho 3 cũng là

{ } 1;0;1 − hay ( ) 3 mod3 a a ≡

Tương tự ta có:

( ) 3 mod3 b b ≡ ; ( ) 3 mod3 c c ≡ ; ( ) 3 mod3 d d ≡

Suy ra ( ) 3 3 3 3 mod3 a b a b c d c d + + + + + ≡ + ( ) 2

Vậy a b c d + + + chia hết cho 3

Câu 5. (HSG T7 Huyện Nghi Lộc, năm học 2022 - 2023)

Chứng minh rằng số ( )

2016 97 2014 96 17 3

2 A − = là một số tự nhiên chia hết cho 5.

Lời giải