Bài toán nguyên lý Dirichlet trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 1/10

CĐ13: NGUYÊN LÝ DIRICHLET

Dạng 1: Sử dụng trong bài toán chia hết

Dạng 2: Sử dụng trong bài toán về tính chất các phần tử trong tập hợp

Dạng 3: Sử dụng trong một số bài toán thực tế

Dạng 4: Sử dụng trong một số bài toán về hình học

Dạng 1. Sử dụng trong bài toán chia hết Câu 1. (HSG 7 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU 2022 - 2023)

Chứng minh rằng nếu 2 1 n − là số nguyên tố ( ) 2 n > thì 2 1 n + là hợp số.

Lời giải

Ta có: 2 1 n −; 2n ; 2 1 n + là ba số tự nhiên liên tiếp theo Dirichlet có một trong ba số sẽ chia hết cho 3

Mà 2 1 n − là số nguyên tố ( ) 2 n > nên 2 1 n − không chia hết cho 3.

Mặt khác: với 2 n > thì 2n không là bội của 3, nên 2n không chia hết cho 3.

Suy ra: 2 1 n + chia hết cho 3 và 2 1 3 n + > với mọi 2 n > .

Vậy 2 1 n + là hợp số (đpcm). Câu 2. (HSG 7 LIÊN TRƯỜNG 2022 - 2023) Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007 .

Lời giải

Xét 2008 số sau:

2008 1; 11; 111; ;111 11 … …  

Theo Dirichle tồn tại ít nhất 2 số chia cho 2007 có cùng số dư

Giả sử hai số đó là

111 11 = …   n A

111 11 ( ) = … >   k B n k

⇒ − A B 111 11 111 11 = … − …     n k

10 .111 11 2007

− = …    k

n k

Mà ( ) 10 ; 2007 1 k = 111 11 2007

n k − ⇒ …   

Câu 3. (HSG 7 TP Sầm Sơn, tỉnh Thanh Hóa 2022 - 2023) Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên có dạng 20232023...2023 chia hết cho 23.

Lời giải Xét 23 số tự nhiên trong đó mỗi số được viết liên tiếp từ n số 2023 lại với nhau

( 1;2;3;...;23 n  )

Ta được các số: 2023;20232023;202320232023;...;20232023...2023.

+ Nếu trong dãy có một số chia hết cho 23 thì ta có điều cần chứng minh.

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 2/10

+ Nếu trong dãy trên không có số nào chia hết cho 23, thì đem các số đó chia cho 23 có ít nhất 2 số có cùng số dư.

+ Giả sử hai số đó là:

2023 2023...2023

m so a   và

2023 2023...2023

n so b   với m n 

Khi đó a b  chia hết cho 23

2023...202300...0  chia hết cho 23 ( có m n  số 2023 và 4n chữ số 0 )

4 2023...2023.10 n  chia hết cho 23.

Do 23 là số nguyên tố và 4 10 n không chia hết cho 23

20232023...2023  chia hết cho 23.

Câu 4. (HSG 7 huyện, tỉnh, trường Nông Cống 2022 - 2023) Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con xúc xắc. Chứng tỏ rằng khi ta gieo xúc xắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một hay nhiều mặt để tổng các số trên các mặt đó chia hết cho 5.

Lời giải

Gọi các số trên 5 mặt là 1; a 2; a 3; a 4; a 5a .

Xét 5 tổng: 1 1 S a = ; 2 1 2 S a a = + ; 3 1 2 3 S a a a = + + ;

4 1 2 3 4 S a a a a = + + + ; 5 1 2 3 4 5 S a a a a a = + + + + -

+ Nếu một trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải xong.

+ Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số dư khi chia cho 5 (vì có 5 tổng mà có 4 số dư khác 0 là 1; 2; 3; 4 ). Nên hiệu của hai tổng đó chia hết cho 5.

+ Gọi 2 tổng đó là m S và n S (1 5 m n ≤ < ≤ ) thì ( ) 5 – m n S S 

hay ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 5 – m n n n m a a a a a a a a a + + + + + + + + = + + +     .

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 5. (HSG 7 tp Vũng Tàu 2021 - 2022) Chứng tỏ rằng tồn tại một số tự nhiên tận cùng là 2022 và chia hết cho 2021 .

Lời giải Xét 2022 số có dạng 2022 , 20222022 , …, 2022...2022

Theo nguyên tắc Dirichlet thì có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 2021

Giả sử hai số đó là 2022...2022 A = ( n số 2022 ) và 2022...2022 B = ( k số 2022 ); n k <

2022 2022...2022.10n

k n B A

− − =

soá  chia hết 2021

Mà (2021,10 ) 1 n =

Suy ra

2022 2022...2022

k n B A

− − =  soá

chia hết cho 2021

Vậy luôn tồn tại một số tự nhiên tận cùng là 2022 và chia hết cho 2021.

Câu 6. (HSG 7 huyện Tam Dương, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2022 - 2023) Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước 10x10 (10 dòng, 10cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất …