Bài toán tính chất chia hết trong tập hợp số tự nhiên trong các đề thi HSG Toán 6

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 1 CHỦ ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN

A. PHẦN NỘI DUNG

I. Quan hệ chia hết và tính chất.

Dạng 1: Chứng minh chia hết.

Bài 1: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: 2 1 24 p − 

Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022

Lời giải

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3.

Ta có ( )( ) 2 1 1 1 p p p p p − + −= − +

do p là số lẻ nên 2 1 p k = + ( * k N ∈ )

2 1 p −= ( 1)( 1) p p − + = 2 (2 2) k k + = 4 ( 1) k k + 8 (1) 

Mặt khác 1; ; 1 p p p − + là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3, mà p không chia

hết cho 3 nên 1 p − hoặc 1 p + chia hết cho 3. Từ đó suy ra 2 1 p −= ( 1)( 1) 3 (2) p p − + 

Vì ( ) 3,8 1 = và từ ( )1 và ( ) 2 nên suy ra 2 1 24 p −  .

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 7 4 37 x y +  thì 13 18 37 x y +  .

Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021 - 2022

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) 5 13 18 4 7 4 x y x y + − + = 65 90 28 16 x y x y + − −

37 74 x y = + 37( 2 ) 37 x y = + 

Hay ( ) ( ) 5 13 18 4 7 4 37 x y x y + − +  (*)

Vì 7 4 37 x y +  , mà ( ) 4 ;37 1 = nên ( ) 4 7 4 37 x y + 

Do đó, từ ( ) * suy ra: ( ) 5 13 18 37 x y +  , mà ( ) 5 ;37 1 = nên 13 18 37 x y +  .

Bài 3: Cho 1 1 1 2.3.4.5 .98. 1 2 3 98 A   = … + + +…+    

. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 99.

Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021-2022 Lời giải

2.3.4.5 .9 . 1 1 1 1 .. 2 9 8. 3 8 A   + + + = … +    

1 1 1 1 1 2.3.4.5 .98. 1 ..... 98 2 97 44 45         … + + + + + +         =        

99 99 99 2.3.4.5 .98. ..... 98 2.97 44.45   = … + + +    

1 1 1 2.3.4.5 .98.99. .... 99 98 2.97 44.45   = … + + +     

Vậy 99 A . Bài 4:

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 2 a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 10 1 p + cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng 5 1 p + chia hết cho 6 .

b) Chứng tỏ rằng nếu ( ) 6 11 31 , x y x y + ∈   thì 7 31 x y +  .

Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021-2022

Lời giải

a) p và 10 1 p + là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3 1; 3 2 k k + +

Nếu 3 2 p k = + thì 10 1 p + ( ) 10 3 2 1 k = + + 30 21 3 k = +  (loại vì 10 1 p + là số nguyên tố)

nên 3 1 p k = +

Có: 3 1 p k = + suy ra ( ) 5 1 5 3 1 1 15 6 3 p k k + = + + = + 

Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ nên 5 1 p + chẵn, suy ra 5 1 2 p + 

Mà ( ) 2;3 1 = nên ( ) 5 1 2.3 p +  hay 5 1 6 p + .

Vậy 5 1 p + chia hết cho 6 .

b) Vì ( ) 6 11 31 , x y x y + ∈   nên 6 11 31 31 x y y + + 

hay 6 42 31 x y + 

( ) 6 7 31 x y + 

nên 7 31 x y + 

Vậy nếu ( ) 6 11 31 , x y x y + ∈   thì 7 31 x y +  .

Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu 7 4 :37 x y + thì 13 18 :37 x y + .

Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) 5 13 18 4 7 4 x y x y + − + 65 90 28 16 x y x y = + − −

37 74 x y = + 37( 2 ) 37 x y = +  Hay ( ) 5(13 18 ) 4(7 4 ) 37 * x y x y + − + 

Vì 7 4 37 x y +  , mà (4;37) 1 = nên 4(7 4 ) 37 x y + 

Do đó, từ ( ) * suy ra: 5(13 18 ) 37 x y +  , mà (5;37) 1 = nên 13 18 37 x y +  .

Bài 6: Cho số tự nhiên có 4 chữ số abcd . Chứng tỏ rằng abcd chia hết cho 7 khi:

2 3 b c d a + + − chia hết cho 7 2

Trích đề HSG huyện Kỳ Anh năm 2021 – 2022

Lời giải

( ) abcd 2 3 b c d a − + + −

( ) 1000 100 10 2 3 a b c d b c d a = ⋅ + ⋅+ ⋅+ − + + −