Bài toán số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi Toán 6

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 CHỦ ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A. PHẦN NỘI DUNG

Dạng 1: Nhận biết một số là số chính phương

Bài 1: Tìm số nguyên tố ( ) 0 ab a b > > sao cho ab ba − là số chính phương

Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 10 10 9( ) ab ba a b b a a b − = + − − = − Do 9 là số chính phương nên ( ) a b − là số chính phương. Mà 1 8 a b ≤ − ≤ nên { } 1;4 a b −∈

Nếu { } 1 21;32;43;54;65;76;87;98 : 43 a b suy ra ab suy ra ab − = ∈ =

Nếu { } 4 51;62;73;84 : 73 a b suy ra ab suy ra ab − = ∈ =

Vậy { } 43;73 ab∈

Bài 2: Tìm * n∈ để 2 2006 n + là số chính phương.

Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 - 2016

Lời giải

Giả sử

2 2006 n + là số chính phương khi đó ta đặt: ( ) 2 2 2006 n a a + = ∈

2 2 2006 a n − =

( )( ) ( ) 2006 1 a n a n − + =

Mà ( ) ( ) 2 a n a n n + − − = chia hết cho 2 .

a n + và a n − có cùng tính chẵn lẻ.

+) TH1: a n + và a n − cùng lẻ nên ( )( ) a n a n − + lẻ, trái với ( ) 1 .

+) TH2: a n + và a n − cùng chẵn nên ( )( ) a n a n − + chia hết cho 4 , trái với ( ) 1 .

Vậy không có n thỏa mãn

2 2006 n + là số chính phương. Bài 3: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 1;2 1;5 1 n n n + + + đều là số chính phương?

Trích đề chọn HSG Trực Ninh năm 2017-2018

Lời giải

Do 1 n + là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Nếu 1 3 n + thì n chia cho 3 dư 2 nên 2 1 n + chia cho 3 dư 2 , vô lý. Do đó 1 n + chia cho 3 sẽ dư 1 nên 3 n Do 2 1 n + là số chính phương lẻ nên 2 1 n + chia cho 8 dư 1, suy ra 2 8 n, từ đó 4 n Do đó 1 n + là số chính phương lẻ nên 1 n + chia cho 8 dư 1, suy ra 8 n

Ta thấy 3, 8 n n   mà ( ) 3,8 1 = nên 24 n mà n là số nguyên dương

Với 24 n = thì

2 2 2 1 25 5 ;2 1 49 7 ; 5 1 121 11 n n n + = = + = = + = =

Vậy 24 n = là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài

Bài 4: Tìm số nguyên tố ab ( ) 0 a b > > biết ab ba − là số chính phương

Trích đề chọn HSG Nga Sơn năm 2017-2018

Lời giải

Ta có: ( ) 9 ab ba a b − = −

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 Do ,a b là các chữ số, ab là số nguyên tố, nên 3 b ≤ . Do đó ( ) 9. a b − là số chính phương khi

{ } 1;4 a b −∈

+) Với 1 a b − = mà ab là số nguyên tố nên ta được số 43 ab =

+)Với 4 a b − = mà ab là số nguyên tố nên ta được số 73 ab =

Vậy { } 43;73 ab =

Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho : 1! 2! 3! ..... ! n + + + + là số chính phương.

Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019

Lời giải

Xét : 2 1 1! 1 n = ⇒ =

2 n = nên 1! 2! 3 + =

3 n = nên 2 1! 2! 3! 9 3 + + = =

4 n = nên 1! 2! 3! 4! 33 + + + =

Với 4 n > thì ! 1.2.3....... n n = là một số chẵn. Nên 1! 2! ...... ! 33 n + + + = cộng với một số chẵn bằng số có chữ số tận cùng là 3 nên không là chính phương

Vậy 1, 3 n n = = thì thỏa đề

Bài 6: Cho 2 3 2022 2023 5 5 5 ... 5 5 M = + + + + + có phải là số chính phương không? Vì sao?

Trích đề HSG THCS Quỳnh Thiện năm 2022 - 2023

Lời giải

Vì mỗi số hạng của M đều chia hết cho 5 nên 5 M  Nhưng M không chia hết cho 25 ( do trong tổng chỉ có duy nhất 1 số hạng là 5 không chia hết cho 25). Do đó M không phải là số chính phương.

Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết n là số chính phương và n là bội của 147

Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021 - 2022

Lời giải

Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 9999 n ≤ ≤ Theo bài ra n là bội của 147 nên 2 147. 7 .3 n k k = = Do n là số chính phương nên khi phân tích n ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa của các thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra 3 k 3 k m ⇒ =

2 2 7 .3 . 441 n m m ⇒ = = 1000 441 9999 m ⇒ ≤ ≤ 2 22 m ⇒ < ≤ Để n là số chính phương thì m phải là số chính phương nên { } 4;9;16 m∈

Suy ra các số tự nhiên cần tìm là: 1764;3969;7056

Bài 8: Cho phân số 6 1 3 2 x C x − = + . Tìm x∈ để C có giá trị là số nguyên và 5 11 M x = + có giá trị là

số chính phương.

Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022

Lời giải Để C có giá trị là số nguyên thì 6 –1 3 2 x x + 