Bài toán số nguyên trong các đề thi học sinh giỏi Toán 6

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 CHỦ ĐỀ 4: SỐ NGUYÊN

A. PHẦN NỘI DUNG

I. Ước và bội.

Dạng 1: Chứng minh sự chia hết.

Bài 1: Chứng tỏ rằng 2 3 1 a a + + không thể chia hết cho 2 với a là số nguyên.

Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021-2022

Lời giải

Ta có 2 3 1 a a + + = 2 2 1 a a a + + + = ( ) 1 2 1 a a a + + +

Vì ( ) 1 a a + là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 ;

2a chia hết cho 2 ;

1 không chia hết cho 2 .

Suy ra 2 3 1 a a + + không chia hết cho 2 với a là số nguyên.

Bài 2: Chứng tỏ 4 3 x y + chia hết cho 7 khi 2 5 x y + chia hết cho 7 .

Trích đề HSG cấp huyện năm 2018-2019 Lời giải Ta có:

4 3 7 x y + 

Suy ra ( ) 4 4 3 7 x y + 

Suy ra 16 12 7 x y +  Suy ra 14 7 2 5 7 x y x y + + +  Mà 14 7 7 x y + suy ra 2 5 7 x y +  Vậy 4 3 7 x y + khi 2 5 7 x y +  Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho 4 5 n − chia hết cho 2 1 n −.

Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015-2016

Lời giải

Tìm số nguyên n sao cho 4 5 n − chia hết cho 2 1 n −.

Ta có : ( ) 4 5 4 2 3 2 2 1 3 n n n − = − − = − −

Để 4 5 2 1 n n − − 

3 2 1 n − 

( ) { } 2 1 3 1; 3 n −∈ = ± ± ¦

2 1 n − 1 − 1 3 − 3

n 0 (TM) 1 (TM) 1 − (TM) 2 (TM)

Vậy { } 0; 1; 1;2 n∈ .

Bài 4:

a) Cho ababab là số có sáu chữ số, chứng tỏ số ababab là bội của 3

b) Chứng tỏ :

5 15 16 2 S = + chia hết cho 33

Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018 - 2019

Lời giải

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 a) .10000 .100 10101. ababab ab ab ab ab = + + =

Do 10101chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay ababab là bội của 3

b) Chứng minh

5 15 16 2 S = + chia hết cho 33

Có ( ) ( ) 5 5 15 4 15 20 15 15 5 15 16 2 2 2 2 2 2 . 2 1 2 .33 S = + = + = + = + =

Nên S chia hết cho 33

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có 3 6 n n −

Trích đề chọn HSG Trực Ninh năm 2017-2018

Lời giải

Ta có ( ) ( ) 3 2 1 n n n n − = − ( ) 2 1 n n n n = − + − ( ) ( ) 1 1 n n n n = − + −     ( )( ) 1 1 n n n = − +

Với mọi số nguyên dương n thì ( ) ( ) 1 1 n n n − + là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 2

và 3 mà ( ) 2,3 1 = nên ( )( ) 1 1 6 n n n − + 

Bài 6: Cho ( ) ( ) ( ) M a b b c a c a = −+ − + − + − . Trong đó ,b c∈còn a là một số nguyên âm. Chứng

minh rằng biểu thức M luôn dương

Trích đề HSG huyện Lâm Thao, năm 2017 - 2018

Lời giải

M a = − mà a là số nguyên âm nên M luôn dương

Bài 7: Cho ababab là số có sáu chữ số, chứng tỏ số ababab là bội của 3.

Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018 - 2019

Lời giải

.10000 .100 10101. ababab ab = + =

Do 10101chia hết cho 3nên ababab chia hết cho 3 hay ababab là bội của 3.

Bài 8: Tìm các giá trị nguyên n của để phân số 2 5 3 n B n + = + có giá trị là số nguyên.

Trích đề KS HSG huyện năm 2021 – 2022 Lời giải

Ta có: ( ) 2 3 1 2 5 1 2 3 3 3 n n n n n + − + = = − + + +

Để B có giá trị nguyên thì 1 3 n + nguyên

1 ( 3) n + 

3 n + thuộc ước nguyên của 1

} { 3 1;1 n + ∈−

{ } 4; 2 n∈− − .

Vậy { } 4; 2 n∈− −

Bài 9: Tìm số nguyên n để 2 2 6 A n n = + −chia hết cho 2 1 n + Trích đề HSG Trường Nghĩa Đồng huyện Tân Kì năm 2021-2022.

Lời giải Ta có

2 2 6 .(2 1) 6 A n n n n = + − = + −