Bài toán đồng dư thức trong các đề thi học sinh giỏi Toán 6

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 CHỦ ĐỀ: ĐỒNG DƯ THỨC

A. PHẦN NỘI DUNG Dạng 1: Toán chứng minh chia hết

Bài 1: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì ( ) 2 1 2021 2020 3 n+ + .

Trích đề HSG trường THCS Yên Phong năm 2021 - 2022

Lời giải

Ta thấy: ( ) 2021 2 mod3 ≡

( ) 2 1 2 1 2021 2 mod3 n n + + ≡

Mặt khác:

2 1 2 2.4 n n + =

mà: ( ) 4 1 mod3 ≡

( ) 4 1 mod3 n n ≡

( ) 2.4 2 mod3 n ≡

( ) 2 1 2 2 mod3 n+ ≡

nên ( ) 2020 1 mod3 ≡ ; ( ) 2 1 2021 2 mod3 n+ ≡

Vậy

( ) 2 1 2021 2020 3 n+ + .

Bài 2: Chứng tỏ: 5 15 16 2 S + = chia hết cho 33 .

Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010 - 2011 Lời giải

Có ( ) 5 15 15 4 2 2 5 16 2 S = + + =

20 15 2 2 = + 15 5 15 2 .2 2 = +

15 5 2 (2 1) = +

15 2 .33 33 = 

Vậy S chia hết cho 33 .

Bài 3: Chứng minh rằng:

2 3 4 101 3 3 3 3 + +… + + chia hết cho 120.

Trích đề HSG huyện Hằng Hoá năm 2014 -2015 Lời giải Ta có:

2 3 4 101 3 3 3 3 + + +…… +

( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 9 98 99 100 101 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = + + + + + + + +…+ + + +

( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 2 3 4 97 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 . . . 3 = + + + + + + + +…+ + + +

1 5 97 3 .120 3 .120 3 .120 = + +…+ ( ) 1 5 97 120. 3 3 3 120 = + +…+  (đpcm).

Bài 4: Cho , p q là hai số nguyên tố lớn hơn 5 . Chứng minh rằng 4 4 2019 p q + chia hết cho 20 .

Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2022 - 2023

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 Lời giải

Ta có 4 4 4 4 4 1 20 0 9 20 2 A p q p q q = + = − + ( )( ) 4 2 2 2 2 2020 p q p q q = + − +

Vì , p q là hai số nguyên tố lớn hơn 5 nên ( ) ( ) ;5 ;5 1 p q = =

2 2 , 1;4(mod5) p q ≡

Nếu 2 2(mod5) p q ≡ thì 2 2 0(mod5) p q − ≡

( )( ) 2 2 4 2 2 2020 0 (mod5) A p q p q q + − ≡ = +  1

Nếu 2 2 , p q không cùng số dư khi chia cho 5 thì

2 2 1 4 0 (mod5) p q + ≡+ ≡

Vậy 0 (mod5) A ≡  2

Từ  1 và  2 suy ra 5 A  *

Mặt khác: , 5 p q > nên , p q lẻ

Suy ra 2 2 1 (mod 4) p q ≡ ≡

2 2 0 (mod 4) p q − ≡

( )( ) 2 2 4 2 2 2020 0 (mod4) A p q p q q + − ≡ = +

Suy ra 4 A  **

Từ  * và  ** Suy ra 20 A .

Bài 5: Cho , p q là hai số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng 4 4 2019 p q + chia hết cho 20.

Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải

4 4 4 4 4 2019 2020 A p q p q q = + = − +

( )( ) 2 2 2 2 4 2020 p q p q q = + − +

Vì , p q là hai số nguyên tố lớn hơn 5 nên ( ) ( ) ,5 ,5 1 p q = =

2 2 , 1,4(mod5) p q ⇒ ≡

Nếu 2 2(mod5) p q ≡ thì 2 2 0(mod5) p q − ≡

( )( ) 2 2 4 2 2 2020 0(mod5) A p q p q q ⇒ + ≡ = − + (1)

Nếu 2 2 , p q không cùng số dư khi chia cho 5 thì

2 2 1 4 0(mod5) p q + ≡+ ≡

0(mod5) A ⇒ ≡ (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 A (*)

Mặt khác: , 5 p q > nên , p q lẻ

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 3 2 2 1(mod 4) p q ≡ ≡ ⇒

2 2 0(mod 4) p q − ≡ ⇒

( )( ) 2 2 4 2 2 2020 0(mod4) A p q p q q ⇒ + ≡ = − +

4 A ⇒  (**)

Từ (*) (**) 20 A ⇒ 

Bài 6: Cho biết 4 a b + chia hết cho 13 ( ) , . a b∈ Chứng minh rằng 10 13 b + 

Trích đề HSG huyện Lâm Thao, năm 2018- 2019

Lời giải

4 13 10 40 13 10 39 13 39 13 10 13 a b a b a b b b a b + ⇒ + ⇔ + + ⇒ +     

Bài 7: Cho

2 3 98 99 1 3 3 3 ..... 3 3 S = −+ − + + −

a) Chứng minh rằng S là bội của 20 − b) Tính S, từ đó suy ra

100 3 chia cho 4 dư 1

Trích đề HSG huyện Vũ Thư, năm 2018- 2019

Lời giải

a) Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng

2 3 98 99 1 3 3 3 ...... 3 3 S = −+ − + + −

( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 96 97 98 99 1 3 3 3 3 3 3 3 ..... 3 3 3 3 = + + − + − + − + + − + −

( ) ( ) ( ) 4 96 20 3 . 20 ...... 3 . 20 20 S = − + − + + − ⇒ − 

2 3 98 99 ) 1 3 3 3 ...... 3 3 b S = −+ − + + −

2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 ..... 3 3 S = − + − + + −

100 1 3 3 4 4 S S S − ⇒ + = =

100 100 3 1 4 3 ⇒ − ⇒  chia cho 4 dư 1.

Bài 8: Chứng tỏ: 10 18 1 n A n = + − chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên)

Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải 10 18 1 10 1 9 27 n n A n n n = + −= −− + 99.....9 9 27

n n n = − +  9.(11.....1 ) 27

n n n = − + 

Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 …