Bài toán so sánh phân số, lũy thừa trong các đề thi học sinh giỏi Toán 6

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 CHỦ ĐỀ: SO SÁNH PHÂN SỐ

A. PHẦN NỘI DUNG

Các bài toán về tỷ số của hai số; tìm số khi biết giá trị phân số của nó; tìm giá trị phân số của một số; tỷ số phần trăm.

Dạng 1: Các phương pháp so sánh: quy đồng mẫu (tử ), sử dụng tính chất bắc cầu, xét phần bù, viết dưới dạng hỗn số, so sánh với 1; sử dụng tính chất: với a, b , m ∈ N* thì:

* 1 a a a m b b b m + < ⇒ < + * 1 a a a m b b b m + > ⇒ > + )

Bài 1: Tính tổng của các phân số lớn hơn 1 5 nhưng nhỏ hơn 1 4 và có tử là 4 .

Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021 - 2022 Lời giải

Ta có 1 5 4 20 = ; 1 4 4 16 =

Các phân số lớn hơn 1 5 nhưng nhỏ hơn 1 4 và có tử là 4 là: 4 4 4 17 18 ; ;19

Tổng các phân số là: 4 4 4 17 18 19 + + 4 2 4 17 9 19 = + + 684 646 612 2907 2907 2907 = + + 1942 2907 = . 2

Bài 2: Có bao nhiêu cách để viết 7 12 thành tổng của hai phân số tối giản trong đó mẫu số của hai phân

số khác nhau và đều không lớn hơn 12.

Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021 - 2022 Lời giải

Ta có 7 1 6 = + 2 5 = + 3 4 = +

Do đó 7 1 6 12 12 + = 1 1 12 2 = + ;

7 2 5 12 12 + = 1 5 6 12 = + ;

7 3 4 12 12 + = 1 1 4 3 = +

Vậy có ba cách viết.

Bài 3: So sánh:

8

8 17 5 17 8 A + = − và

8

8 17 6 17 7 B + = − .

Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021 - 2022

Lời giải

8

8 17 5 17 8 A + = −

8

8 17 8 13 17 8 −+ = −

8

8 8 17 8 13 17 8 17 8 − = + − − 8 13 1 17 8 = + −

8

8 17 6 17 7 B + = −

8

8 17 7 13 17 7 − + = −

8

8 8 17 7 13 17 7 17 7 − = + − − 8 13 1 17 7 = + −

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 Vì 8 8 0 17 8 17 7 < − < − nên 8 8 13 13 17 8 17 7 > − − .

Vậy 8 8 13 13 1 1 17 8 17 7 + > + − − hay A B > .

Bài 4: So sánh P và Q , biết: 2010 2011 2012 2011 2012 2013 P = + + và 2010 2011 2012 2011 2012 2013 Q + + = + + .

Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022

Lời giải

Ta có: 2010 2011 2012 2011 2012 2013 Q + + = + +

2010 2011 2012 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 = + + + + + + + +

Ta có: 2010 2010 2011 2012 2013 2011 < + +

2011 2011 2011 2012 2013 2012 < + +

2012 2012 2011 2012 2013 2013 < + +

nên 2010 2011 2012 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 + + + + + + + + < 2010 2011 2012 2011 2012 2013 + +

Kết luận: P Q > .

Bài 5: So sánh 2 phân số: 20072007 20082008 và 200720072007 200820082008

Trích đề HSG huyện Tĩnh Gia năm 2018-2019 Lời giải 20072007 2007.1001 2007 20082008 2008.1001 2008 = =

200720072007 2007.100010001 2007 200820082008 2008.100010001 2008 = =

Vậy hai phân số trên bằng nhau

Bài 6: So sánh hai phân số 1 a a −và 1 b b + (với , a b là số nguyên cùng dấu và ; 0) a b ≠

Trích đề HSG THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019

Lời giải

Có 1 1 1 a a a −= − và 1 1 1 b b b + = +

*Nếu 0, 0 a b > > suy ra 1 0 a > và 1 0 b > suy ra 1 1 1 1 a b − < + hay 1 1 a b a b − + <

*Nếu 0, 0 a b < < suy ra 1 1 0; 0 a b < < suy ra 1 1 1 1 a b − > + suy ra 1 1 a b a b − + >

Bài 7: So sánh

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 3

a) 77772 77778 M = và 88881 88889 N = .

b) 326 988 662 1955 1975 1985 P = + + và 3951 1 1 3950 5955 11730 Q = + + .

Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 – 2022.

Lời giải

a) 77772 77778 M = 6 1 77778 = − 1 1 12963 = − 8 1 103704 = −

88881 88889 N = 8 1 88889 = −

Vì 8 8 103704 88889 < nên 8 8 1 1 103704 88889 − > −

Vậy M N > .

b) 326 988 662 1955 1975 1985 P = + + và 3951 1 1 3950 5955 11730 Q = + +

Ta có: 326 988 662 1955 1975 1985 P = + +

326.6 988.2 662.3 1955.6 1975.2 1985.3 = + +

1956 1976 1986 11730 3950 5955 = + +

1 1 3951 1 1 1 11730 6 3950 2 5955 3       = + + − + +            

1 1 1 6 2 3 Q   = + − +    

0 Q = +

Q =

Vậy P Q = .

Bài 8: So sánh A và B biết:

18 17

19 18 17 1 17 1 , 17 1 17 1 A B + + = = + +

Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 - 2016

Lời giải

Vì

18

19 17 1 1 17 1 A + = < +

( ) ( )

17 18 18 17

19 19 18 18 17. 17 1 17 1 17 1 16 17 1 17 1 17 1 16 17 1 17. 17 1 A B + + + + + = < = = = + + + + +

Vậy A B = .

Bài 9: Không quy đồng mẫu số, hãy …